5．4．期待値と分散
本節では、確率変数に対する平均と分散（2章）について説明します。5．4．1．期待値
まずは、確率変数が離散値の場合の平均について見ていきます。例として、サイコロを1回振ったときに出る目の平均（2.2節）はいくつになるか？調べてみましょう。
サイコロの目は1, 2, 3, 4, 5, 6の6つですから、その平均は2.2節の式を使って
\[
\frac{1+2+3+4+5+6}{6}
=
3.5
\]
になります。この式は次のように書き直せます。
\[
\frac{1}{6}+
\frac{2}{6}+
\frac{3}{6}+
\frac{4}{6}+
\frac{5}{6}+
\frac{6}{6}
=
3.5
\]
この式から、サイコロの目の平均は「サイコロの各目に対応する確率を掛け、それらを足し合わせたもの」と解釈できます。
この平均\( \bar{x} \)の計算式を文字式で表すと次のようになります。
\[
\bar{x}
=
x_1 p_1 +
x_2 p_2 +
\cdots
x_n p_n
\tag{*}
\]
確率変数：\(x_1, x_2, \cdots \)
確率：\( p_1, p_2, \cdots \)
先ほど示した平均を求める式（*）が妥当であることを示すために、ここでは次のような場合を考えてみます。
- サイコロに細工がしてあって6の目しか出ない場合、p1=…=p6=0、p6=1となるので、
\[ x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots x_6 p_6 = 6 \times 1 = 6 \]
- サイコロに細工がしてあって1と6しか出ないけど、1は6の2倍現れる場合、「3回に2回は1が出て、3回に1回は6が出る」ということなので、
\[ x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots x_6 p_6 = 1 \times \frac{2}{3} + 6 \times \frac{1}{3} = 2.66\cdots \]
（2）は、以下のような感じで1と6が現れるので（あくまで感じ）、
\[
\frac{1+1+6+1+6+6+1+1+1 \qquad}{9}
=
1 \times \frac{6}{9} + 6 \times \frac{3}{6}
=
2.66\cdots
\]
となります。
つまり確率変数Xの平均\( \bar{X} \)は、「確率変数の値Xkに対応する確率Pkを掛け、根元事象（4.3節参照）の数分足し合わせたもの」として求めることができます。
\[
\bar{X}
=
X_1 P_1 + \cdots + X_n P_n
=
\sum_{k=1}^n { X_k P_k}
\]
この式は、確率変数Xの値に、出現しやすい、しにくいを考慮した上で「最も見込まれる値＝期待される値」を計算している、ともいえます。
従って確率変数Xの平均は“期待値”ともいいます。確率変数Xの期待値は一般的にE(X)で表します。
\[
E(X)
=
\sum_{k=1}^n { X_k P_k}
\]
次に、確率変数Xが連続値の場合について見ていきます。
5.3節で見たように、区間[a,b]の確率は次式で表せます。
\[
P(a \leq X \leq b)
=
\int_a^b f(x) dx
\]
この区間で期待される確率変数の値、つまり期待値は
\[
E(a \leq X \leq b)
=
\int_a^b x f(x) dx
\]
となります。
確率変数が連続値の場合の期待値は、すべてのxについて計算をする必要があるので、実数全体[-∞,+∞]で積分すればよく、
\[
E(X)
=
\int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) dx
\]
で求まります。
5．4．2．分散
2章でも見たように、代表値として期待値（平均）だけを計算しても、データのばらつきがわからないのでデータの性質を捉えきれません。 そこで、サイコロの出る目のばらつき＝分散について考えてみます。サイコロの出る目の分散は次式の通りです。
\[
V
=
\frac{ (1-3.5)^2 + \cdots + (6-3.5)^2 \quad }{6}
=2.92\cdots
\]
これも期待値のとき同様に変形すれば、サイコロの目の分散は「サイコロの各目の偏差に対応する確率を掛け、それらを足し合わせたもの」と解釈できます。
\[
V
=
\frac{ (1-3.5)^2 }{6} + \cdots + \frac{(6-3.5)^2 \quad }{6}
=2.92\cdots
\]
これを一般化すると、次のようになります。
\[
V(X)
=
P_1 (X_1 - \bar{X} )^2 + \cdots + P_n (X_n - \bar{X} )^2
=
\sum_{k=1}^n { P_k (X_k - \bar{X} )^2 }
\]
この式もまた期待値同様、確率変数Xの偏差（の二乗）に、出現しやすい、しにくいを考慮した上で最も見込まれる値を計算しています。
結局、“分散”は偏差の期待値を求めていることに他なりません。
次に、確率変数Xが連続値の場合について見ていきます。
これも期待値のときと同様に考えれば次式が得られます。
\[
V(X)
=
\int_{-\infty}^{+\infty} (x - \bar{x})^2 f(x) dx
\]
5．4．3．期待値と分散の性質
ここで、期待値と分散に関する重要な性質を挙げておきます。期待値：
- \( E(c)=c \quad \)(cは定数)
- \( E(cX)=cE(X) \)
- \( E(aX+b)=aE(X)+b \)
- \( E(X+Y)=E(X)+E(Y) \)
分散：
- \( V(X)=E \{ (X-\bar{X})^2 \} = E(X^2) - \{ E(\bar{X}) \}^2 \)
- \( V(c)=0 \)
- \( V(cX) = c^2 V(X) \)
- \( V(aX+b) = a^2 V(X) \)
- X,Yが独立のとき、\( V(X+Y) = V(X)+V(Y) \)
