1.連続体

1.1.連続体力学の位置づけ

力学では物体を「一つの質量を持った点=質点」、あるいは「変形しない物体=剛体」とみて現象を捉えていました。 しかしながら実際の物体は変形します。 そこで、物体の変形を力学によって表現しようと試みたのが連続体力学です。
物体は、固体液体気体の三種類の状態に分類され、特に液体と気体を合わせて流体と呼びます。 固体と液体、という分け方の大きな特徴は「変形のしやすさ」です。 例えば一辺10cmの立方体の固体、液体、気体があるとします。 固体は放置してもほとんど変形しませんが、液体は形状を維持できず流れを伴ってびちゃ~っと床に広がります。 気体に至っては、見えはしませんが例えば匂いが一気に広まることから考えても液体以上に形を変えます(拡散します)。

図1.1-1 流体と固体の違い
図1.1-1 流体と固体の違い

このような変形の違いは、流体は静止しているときにせん断力が働かない、つまりずれ方向に力が働かないことに起因します。 このような特徴によって、運動の記述は固体と流体で異なります。 従って本サイトでは、固体と流体に共通な内容を連続体力学のページで、個別の内容を弾性理論流体力学ページで記述します。

図1.1-2 連続体力学の分類
図1.1-2 連続体力学の分類

1.2.連続体仮定

連続体とは次の仮定に基づいた物体のことです。
物体を細かく分割していくと、やがて分子や原子といった離散的(不連続)な物質にまで分けられます。 しかしながら我々が現実に扱う物理現象は、多数の分子の平均的な運動を捉えられれば十分で、個々の分子の運動まで細かく見る必要はありません。 つまり、物体を
「空間内にすきまなく物質を詰め込んだもの」
として近似的に取り扱っても、現象を十分把握できます。 このような仮定を連続体仮定と呼びます。

図1.2-1 連続体近似
図1.2-1 連続体近似

当然ながら連続体仮定には有効になるための条件があります。 それは、分子間相互作用など微視的な影響を十分無視できる、さらに言えば分子間距離に比べて連続体が十分大きいことです。

1.3.連続体力学で用いる数学

連続体力学における数学的表現は、力学と比べるとはるかに難解で読みにくいものになります。 参考として連続体力学で多用される数学の範囲について記しておきます。

(1)微分積分

連続体力学では、多変数に関する一次近似を多用することから、テイラー展開、偏微分について理解を深めておくことをおすすめします。



(2)ベクトル解析・テンソル解析

連続体力学の表現や証明はこの範囲にかなり依存しています。 テンソルによって式の表記は非常に簡素化されます。 また、勾配(grad)、発散(div)、回転(rot)といったベクトルの微分や、体積分⇔面積分⇔線積分の変換(グリーン、ガウスの定理)を用いることで、連続体の現象説明は非常に楽に進みます。



(3)線形代数

(2)の基礎となる部分ですので抑えておくと理解が進みます。 特に連続体力学では、座標系の選択に絡む基底の考え方や内積が重要となります。



1.4.連続体の微分

連続体の諸問題を扱う際、数多くの微分方程式に遭遇します。 これらの式は無限小の概念を扱うため、連続体仮定がそのまま適用できないのではないか?という疑問がわいてきます。
それについては、次のように考えることができます。
私たちが扱う連続体の大きさは小さくてもせいぜい数um(10-6m)程度であるのに対し、標準状態の大気における分子間距離は数nm(10-9m)程度と非常に小さいものです。 計算上無視できるオーターとしては、対象としている桁数より二桁程度です (例えば100に対し1以下なら無視。ただし、時と場合によりますが)。 従って、連続体の微分を扱ってもせいぜい10-8m程度ですので分子間距離に対して十分大きいと考えられ、連続体の微分方程式はそのまま連続体として扱っても問題ない、と考えられます。

参考文献

流体力学や弾性理論(固体の変形)は連続体力学に含まれます。 連続体力学は、分子の運動は気にせず物体を連続体として扱うことで、物質のマクロな挙動(流れ、変形)を扱うものです。