1.流体力学の基礎

本章のパラメータについて、太字(例えばv、rなど)をベクトル、 標準字(例えばp、ρなど)をスカラーとして扱います。


1.1.流体力学の目的

流体力学は、液体や気体の運動、つまり“流れ”を明らかにすることが目的です。

そこで、まずは“流れ”の定義からはじめます。


流れ=物体を構成する要素の平均的な集団運動

物体は小さな要素が集まって構成されています。


<物体> <構成要素>
液体 原子や分子
宇宙 銀河や恒星
交通

このように構成要素は離散的(つぶつぶ)な存在でその数は膨大です。 そのため構成要素一つ一つの運動に着目することは人間の扱える範囲ではないこと が容易に想像がつくと思います。

また、水は分子によって離散的に構成されていますが、我々からは連続体として見えます。 つまり巨視的に見ることで、個々の構成要素の運動を捉えるのではなく、 連続体の運動として捉えることが出来ます。

以上より、一般に 構成要素の運動を平均化し、それを連続体の運動として扱う 方法がとられます。 この運動が“流れ”になります。 この流れを問題にする物体を“流体”と呼びます。

ただし、物体を連続体として近似的に扱う場合、 連続体近似連続体力学 を参照)が成立しなければなりません。


最後に、流体といえどニュートン力学をもとにその運動は記述できます。

ただし、流体は容易に形を変えるためその状態変化は著しく、 よって熱力学的(状態方程式)な考察も組み込む必要があります。

以上より、流体力学では最低限ニュートン力学(運動方程式、エネルギー保存)と 熱力学の知識が必須となります。


1.2.流れの記述

1.2.1.運動の記述法

流体要素の運動を記述する方法として、ラグランジュ法とオイラー法があります。


(1)ラグランジュ法(質点系の考え方)

流体要素に着目し、その要素が時間を追ってどのように移動するか?を検討します。

このとき、 時間と位置のパラメータを独立として扱うことはできません。

(2)オイラー法(場の考え方)

ある位置に着目し、その位置を通過する流体要素が時間によってどのように変化するか?を検討します。

このとき、 時間と位置のパラメータを独立に扱うことができますので、 数学的な扱いが非常に楽になります。 また、流速測定の方法もオイラー法に即したものが大半をしめます。


図1.2.1-1 流体要素の表現方法(オイラー法とラグランジュ法)
図1.2.1-1 流体要素の表現方法

流体力学では、その扱いやすさから主にオイラー法によって記述されます。

ただし、オイラー法ではかえって解き難い現象もあります。 その場合はラグランジュ法によって解く事になります。


1.2.2.流線

流線とは、 流れの中の曲線で、その線上の任意の接線が流体の速度(流速)の方向と一致 するものを言います。


図1.2.2-1 流線
図1.2.2-1 流線

間違いなく流線は交差しません。 それは、同一点上で流速ベクトルを2本定義できないからです。


次に、流線を表す方程式を導きます。

ある時刻tの各点における流速ベクトルは次のように表せます。


流速ベクトルの関係

そこで、流線上のある点r(x,y,z)と、 そこからほんの少しずれた点r(x+dx,y+dy,z+dz)の関係について見てみます。

流線上の2点r(x,y,z)とr(x+dx,y+dy,z+dz)を結ぶ微小ベクトルdr(x、y、z)は、


微小変位

で表せます。このとき、drベクトルの長さをdlとすると


微小変位長さ

となりますので、これを両辺dxで割ります。


流線

この逆数をとり、dy、dzも同様に計算すれば


流線

となります。これはベクトル表記で次のように表せます。


流線

(1.2.2-2)式右辺は流線の単位接線ベクトルを表し、左辺は速度方向を表す単位ベクトルになります。 (1.2.2-2)式はある時刻だけに着目した式ですので、時間変化を考慮するとなれば、 (1.2.2-2)式は次のように書き換えることになります。


流線

1.3.流体の分類

流体力学を考える上で、次のような分類を一般的に行っています。


表1.3-1 流体の分類
考慮
対象
概要 流体の分類
未考慮 考慮
粘性 流体内部摩擦や熱の移動を考慮 理想流体 粘性流体
圧縮性 流体の圧力による体積変化を考慮 非圧縮性流体 圧縮性流体
時間変化 流速の時間変化を考慮 定常流 非定常流

定常流において、流線は時間とともに変化しません。 よって、流速ベクトルは位置のみの関数v(x,y,z)になります。 つまり、時間変化がないことから流線は時間の項を含まない (1.2.2-2)式によって表すことができます。 すると、流体粒子の動く方向は必ず流線の接線方向と一致することになりますので、 流体粒子の軌跡と流線は一致します。

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