1.材料力学の基本則

1.1.材料力学とは?

1.1.1.材料力学の目的

私たちの周囲にある機械や構造物は、その使用環境に応じた力の作用を受け変形します。 変形は自然の摂理として必ず生じるもので、有益な場合もあれば有害な場合もあります。 有益な変形には、ねじによる締結や、ばねによる蓄力といった例が挙げられます。 それに対し有害な変形には、機器の干渉や破壊といった重篤な問題を生じるものが挙げられます。 特に有害な変形に対しては、構造を頑丈にすることで問題を克服できますが、 材料を不必要に使用することになり、経済性を損なうことにつながります。

そこで、以下に示す観点を持って、機械や構造物を設計することになります。


  • 機械や構造物にどのような力が作用するか?
  • その力によって機械や構造物にどのような変形が生じるか?
  • この変形によって、機械や構造物は壊れないか?
  • この変形によって、機械や構造物の機能に支障は出ないか?

材料力学とは、機械や構造物に作用する力と変形の関係を明らかにし、 それをもとに安全かつ経済的に設計するための実用的な学問になります。

材料力学は、連続体力学の固体論(弾性理論、塑性理論など)を土台としており、 より原理的な理解が必要な場合は、以下のような本を参考にするのが良いと思います。



1.1.2.材料力学の前提

材料力学では、次の仮定に基づき話が進められます。


(1) 材料の均質性 材料内の性質はどこも均一で等しい
(2) 材料の等方性 材料内の性質は方向によって変化しない
(3) 材料の連続性 材料内に空洞や異物は存在しない

一般によく使用される鋼やアルミ合金等の組成を考えればわかるように、実際の材質はこれら3つの仮定を満足しません。 ただ、これらの仮定に基づいて計算した結果でも、“ものづくり”における評価に十分耐えられるので、 このような近似的扱いは現実的と考えられます。 もし、この仮定によって設計に支障が出るほどの差異が生じるならば、そのときになってはじめてこの仮定を外し、 より精密な理論に基づいた計算、解析を行えばよいことになります。


1.2.荷重・応力・ひずみ

1.2.1.荷重

荷重とは、物体に働く外力のことです。 一般的な荷重の分類は、(1)作用形態によるもの、(2)時間変化によるもので行われます。


(1)作用形態によるもの

荷重 特徴
引張荷重 引っ張る方向に作用する力 引張荷重
圧縮荷重 圧縮する方向に作用する力 圧縮荷重
せん断荷重 切断する方向に作用する力 せん断荷重
曲げ荷重 曲げる方向に作用する力 曲げ荷重
ねじり荷重 ねじる方向に作用する力 ねじり荷重

※引張荷重と圧縮荷重をまとめて垂直荷重といいます。


(2)時間変化によるもの

静荷重 力の大きさや方向が時間的に変化しない(と見れる)荷重
動荷重 力の大きさや方向が時間的に変動する荷重
 i)繰り返し荷重 荷重方向は変わらず、大きさのみ周期的に変化する荷重 (引張だけ、圧縮だけ...など)
 ii)交番荷重 荷重の方向、大きさともに周期的に変化する荷重 (引張/圧縮の繰り返し)
 iii)衝撃荷重 極めて短時間に、半正弦波的に作用する荷重

荷重の種類によって材料の破壊に対する許容度(強度)は変化します。 そのため、荷重の種類を特定することは最も重要な作業になります。


1.2.2.応力

物体に荷重(外力)が作用すると、作用反作用の法則に従い物体内部にも力が生じます。 これを内力と呼び、単位断面積あたりの内力を応力と呼びます。



応力は、断面に作用する向きによって、 “垂直応力”“せん断応力”の2つに分類されます。


垂直応力 せん断応力
垂直応力 せん断応力
荷重方向 断面に対して垂直に作用 (面外方向) 断面に対して平行に作用 (面内方向)
垂直応力 垂直応力
その他 力Fが引張→σは引張応力
力Fが圧縮→σは圧縮応力

機械や構造物が壊れる/壊れないは、この応力によって評価することから、、 応力を求めることは設計上必須の仕事になります。

応力の単位はPa=N/m2ですが、 特に機械設計においてはMPa=N/mm2(M=10-6)を用いるのが一般的です。


1.2.3.変位とひずみ

変位とは、空間上のある着目点が別の場所へ移動する際に生じるずれのことです。

物体に荷重を加えると、多かれ少なかれ必ず変形します。 この変形とは、物体内部のある点に変位が生じることです。 ただし、物体内部のすべての点が同じ変位を持つ場合は変形とはなりません。 この場合、物体全体が運動していることに他なりません。


図1.2.3-1 物体の変形

そのため、物体の変形を評価するには変位ではなく別のパラメータで評価する必要があります。 これがひずみになります。 ひずみとは、物体の変形枚の寸法に対する変形量の割合を表すもので、 その定義から無次元であることがわかります。 また、ひずみの大小によって、物体内の任意の位置における変位の度合いを知ることができます。

さて、物体に垂直荷重を与えるとき、荷重方向に対して伸び縮みするだけでなく、 荷重と直交する方向にも伸び縮みが発生します。 例えば、一様な丸棒に引張荷重を付加すると、荷重方向に棒は伸びるとともに、 直交方向は棒が細くなり、縮みます。 また、せん断ひずみについては、形状のゆがみを表しています。

このようにひずみには方向性があり、その方向によって“縦ひずみ”“横ひずみ”“せん断ひすみ”の3種類に分類されます。


縦ひずみ 横ひずみ せん断んひずみ
垂直応力 せん断応力
縦ひずみ 横ひずみ せん断んひずみ

垂直荷重が作用した場合については、荷重方向とその直交方向の2方向にひずみが生じます。 このとき、縦ひずみεに対する横ひずみε’の割合をポアソン比と呼びます。



また、ポアソン比の逆数をポアソン数と呼びます。 ポアソン比は材料固有の物性値であり、次節で出てくる縦弾性係数と横弾性係数に密接に関連します。


1.3.荷重と変形の関係

1.3.1.弾性と塑性

変形している物体ら荷重を除いたとき(除荷)、完全に元の状態に戻る、 つまり変形のない状態に戻る性質を弾性といいます。 それに対し、除荷しても変形が残留する性質を塑性といいます。 一般に材料は、応力がある値を超えるまでは弾性を示し、それを超えると塑性を示すようになります。 この分岐となる応力を弾性限度と呼びます。 実際は弾性限度を明確に知ることはできないため、それに準ずる応力によって弾性域かどうかを判定します (詳細は1.4章)。


1.3.2.フックの法則

力学でもよく知られているフックの法則とは、 物体に加えた力とそれにより生じる変位が比例関係にあることを言います。 この比例関係は付加/除荷のどちらでも成り立たなければなりませんので、 弾性範囲内でのみ成立する法則になります。

力学におけるフックの法則の公式は、力F、変位量x、ばね定数kとおいて



で表します。それに対し材料力学では、垂直応力σ、垂直ひずみεを用いて



で表します。このときEは比例定数で、材料固有の値を表します。 このEを縦弾性係数あるいはヤング率と呼びます。 ひずみは無次元であることから、縦弾性係数は応力と同じ単位を持ちます。

今、長さLの一様断面積Aを有する棒に、引張荷重Fを作用させたときの伸びをxで表す時、 (1.3.2-2)式は次のように書き換えられます。



(1.3.2-1)式と比較するとわかるように、xの係数がばね定数に相当することがわかります。

また、フックの法則はせん断方向に対しても成り立ちます。せん断応力τ、せん断ひずみγとおいて、



の関係が得られ、比例定数Gを横弾性係数あるいはせん断弾性係数と呼びます。 Gもまた材料固有の値になり、応力と同じ単位を持ちます。

材料固有の値である縦弾性係数Eと横弾性係数Gの間には、ポアソン比νと呼ばれる次式の関係があります。



この関係式によって、3つの値のうち2つが決まれば、残りの1つは算出できることになります。


ここで、フックの法則に関する物理的解釈を付け加えておきます。

フックの法則は位置に関する一価関数であることから、保存力⊂ポテンシャルになります。 これは力学的エネルギー保存則が成り立つことを意味し、熱力学的観点から見れば可逆性が成り立つ系となります。 逆に言えば、変形が塑性域に入ると不可逆性が顕著に表れることを意味しています。 フックの法則を導き出す具体的過程については、以下に紹介する弾性論等の本を参考にしてください。


1.3.3.ひずみエネルギー

物体に荷重が作用し変形する過程をエネルギーの観点から捉えてみます。 このとき、荷重は物体を変形させるだけの仕事を行い、 それに対応して物体内部に発生したひずみによってエネルギーが蓄積された、と考えることができます。 このエネルギーをひずみエネルギーと呼びます。 ひずみエネルギーは、(1.3.2-3)式を変位で積分することで求められます。



特に弾性変形においては、xの係数は定数と見ることができるので、



で表すことができます。 このとき荷重と変位は線形関係にあるため、下図の赤斜線部の面積がひずみエネルギーに該当します。 それに対し弾性変形でない場合は、一般に荷重と変位が非線形となり、例えば(赤+青斜線部) の面積がひずみエネルギーとなります。


図1.3.3-1 ひずみエネルギー

ひずみエネルギーは変位xを変数として積分したエネルギーUに該当するのに対し、 力Fを変数とした積分エネルギーUc(上図緑斜線部)を コンプリメンタリエネルギーと呼び、次式で表します。



ひずみエネルギーUとコンプリメンタリエネルギーUcの和は、常に上図四角形(全斜線部)の面積に該当します。 UcはUに対し相補的(Complementary)であることが、その名前の由来になります。 さらに、U、Ucの定義から、次式に基づき荷重Fと変位xを求めることができます。



また、変形がフックの法則に従うとき、(1.3.3-3)式に(1.3.2-3)式を代入することで、



ひずみエネルギーUとコンプリメンタリエネルギーUcは一致します。

以上のエネルギーの考え方は、後述する(予定の)カスティリアノの定理を用いた不静定問題で用いられます。


1.4.材料の機械的性質

1.4.1.強度と剛性

機械や構造物を設計する際、必ず出てくる言葉が“強度”“剛性”です。 これらは別の意味を表しているのですが、よく混同して用いられているので、ここではその違いを明確に示します。

“強度”とは材料の強さであり、応力によって表します。 例えば、物体に引張荷重が作用したときの引張強さとは、物体が壊れるまでの間に発生する最大応力のことです。

それに対し“剛性”とは物体の変形し難さであり、その表し方は弾性係数を用いたり、 固有振動数を用いたり、ひずみを用いたりと様々ですが、応力で表すことはありません。


例えば同じ強度のものでも剛性が違うものはいくらでもあります。 例えば、鋼(S45C)と超々ジュラルミン(A7075-T6)を比較してみます。


材質 引張強さ
(MPa)
縦弾性係数
(GPa)
処理
S35C 570 206 焼き入れ焼き戻し処理
A7075 570 71 T6処理

これは破断するときに、超々ジュラルミンの方が鋼よりも変形が大きいことを意味しています。 そのため、剛性が高いことと強度が高いことをごっちゃにして扱うことで、変形が大きいものほど弱い、 といった誤った判断をしてしまうことにつながりかねません。 強度と剛性は別物であることを常に意識する必要があります。


1.4.2.応力-ひずみ曲線

材料は、それぞれに固有の応力-ひずみ特性を持っています。 この特性を表す応力-ひずみ曲線は、JIS Z 2241「金属材料引張試験」 で規定された引張試験方法によってプロットされるものです。 この曲線は、金属材料だけでなく、セラミックスやゴム、プラスチック等でも用いられます。

材料は、その変形度合によってさまざまな性質を示します。 そこで、下図に示す軟鋼とアルミの応力-ひずみ曲線上に示される点に従って、 その特徴を見ていくことにします。


図1.4.2-1 応力-ひずみ曲線

まず、鋼の応力-ひずみ曲線について見ていきます。

OP間は応力とひずみが線形(比例)関係にあり、フックの法則が成立する範囲になります。 そのため点Pの応力を比例限度と呼びます。

点Eは、線形関係は崩れるものの応力を除荷すれば元の状態に戻る限界で、弾性限度と呼びます。

さらに荷重を上げると、ひずみが増えるにもかかわらず応力は増加しない領域YU~YLが現れます。 この点を降伏点とよび、特に軟鋼等に現れるYUを上降伏点、YLを下降伏点と呼び、 一般に降伏点は上降伏点のことを指します。

この降伏点を超え、さらに荷重を上げたところでは、図の上で2本の線が現れます。 実線は、荷重を与える前の断面積で応力を算出したもので公称応力と呼び、 破線は変形に伴い減少する断面積で応力を算出したもので真応力と呼びます。 一般に材料特性としては公称応力を用いた応力-ひずみ曲線が用いられます。

YLからMの範囲では、加工硬化(ひずみ硬化)を生じながら、応力-ひずみの関係を非線形化し極大点Mに到達します。 このMは引張試験における最大応力を示すことから、引張強さまたは極限強さと呼びます。

最後に、M点を超え試験片を引っ張ると、巨視的に見ても明らかに試験片の一部が細くくびれはじめ、 急速に断面積が減少し、試験片は破断します。

また、アルミでは降伏点は顕在化しないため、一定の永久ひずみ(一般に0.2%)が生ずる応力を降伏点として代用します。 このような点Y0.2耐力と呼びます。


1.4.3.その他の材料の性質

材料には次のような性質があります。


種類 性質 特徴
延性 弾性限度を超えて破壊に至るまでの変形が大きい 引張と圧縮の弾性的性質にあまり差はない アルミ、銅、金など
脆性
(ぜい性)
脆く、破壊にいたるまでの変形が少ない 圧縮強さは引張強さの数倍に達する コンクリート、セラミックスなど
靱性
(じん性)
粘り強く、破壊しにくい耐衝撃性に優れる 亀裂の進展が遅く、高強度かつ延性が高い

延性材料は、前節でみたように引張強さを超えると断面積が急激に減少して破壊に至るのに対し、 脆性材料は少ない変形でいきなり破壊に至ります。

また、靱性については衝撃試験(シャルピー、アイゾットなど)の数値で評価されるのが一般的です。


1.4.4.疲労破壊

どのような材料も繰り返し荷重を受けると、降伏応力以下でも破壊に至ります。 このような破壊を疲労破壊と呼びます。 疲労破壊は、繰り返し応力の大きさと繰り返し数によって決まり、応力が大きければ少ない繰り返し数で破壊に至ります。 それに対し、ある応力まで低減できれば、繰り返し数をいくら増やしても破壊に至りません。 この破壊に至らない最大応力を疲労限度と呼びます。

疲労破壊の挙動を調べるものとしてJIS Z 2273で規定される疲れ試験があります。

疲労破壊に対する評価は、繰り返し応力から平均応力応力振幅を求めることから始まります。


図1.4.4-1 繰り返し応力

平均応力を一定とし、応力振幅と繰り返し数によってプロットされたデータから、疲労破壊を生じない限界曲線が得られます。 この曲線をS-N曲線と呼びます。


図1.4.4-2 S-N曲線

また、横軸に平均応力、縦軸に応力振幅をとり、繰り返し数ごとにデータをプロットすることで破壊を生じない限界曲線が得られます。 この曲線を耐久限度線グッドマン線)と呼びます。


図1.4.4-3 耐久限度線

疲労破壊は、仮に弾性変形内の応力であったとしても、繰り返し作用することによって材料の一部に亀裂が生じ、 その亀裂の拡大とその部分に生じる応力集中により破壊に至る現象です。機械や構造物の破壊において、 疲労破壊が非常に多くの割合を占めていると言われており、設計において必ず注意を払わなければならない検討項目になります。


1.4.5.応力集中と切欠き係数

断面が一様な材料に荷重を作用させた場合、すべての断面で応力は一様に作用します。 それに対し、急激な断面積変化が生じるようなところ、例えば、棒に溝や切欠き、穴等が開いている場合、 応力はこの周囲で局所的に増大します。このような状態を応力集中と呼びます。 応力集中によって亀裂が生じ破壊を起こしやすくすることから、曲率が小さいほど、また鋭角度合いが強いほど、 応力集中は大きくなります。

応力集中の度合いを評価するものとして、局所的に発生した最大応力σMAXを、 その応力発生個所を含む最小断面積の平均応力σmで割ったものとして応力集中係数形状係数)αkを定義します


図1.4.5-1 応力集中の状態

応力集中係数と似たようなものに切欠き係数があります。 切欠き係数βは疲労強度の低下を表すものとして用いられ、 切欠きがない場合とある場合の疲労強度の比で定義されます。



このように、応力集中係数と切欠き係数はその定義が異なります。 しかしながら、応力集中は切欠き等の断面積変化がある場所で生じ破壊の起点になりやすいく、 また、疲労破壊は切欠きから発生した亀裂が進展して破壊に至ることから、 切欠き係数と応力集中係数に何らかの関係性を持つ、と考えるのはごく自然流れです。 実際に、引張強さごとに応力集中係数と切欠き係数の間には下図のような概念図に基づく関係があり、 応力集中係数を求めることで、疲労強度の低下が求められることになります。

*:参考文献リンク


図1.4.5-2 切欠き係数と応力集中係数の関係

1.4.6.クリープ破壊

一定の応力で金属を引っ張ると、時間とともに塑性変形が進行する現象をクリープと呼びます。 クリープは高温になるにつれ生じやすくなり、降伏応力以下でも起きる現象です。 クリープは3つの過程に分けられます。


図1.4.6-1 クリープ特性

一次クリープ
(遷移クリープ)
負荷直後に発生する弾性伸び後、塑性変形が急速に発展し、その後変形速度が徐々に遅くなる範囲
二次クリープ
(定常クリープ)
変形速度が一定
三次クリープ
(加速クリープ)
変形速度が急速化するところからクリープ破断を起こすまで

図1.4.4-1のようなクリープ特性を再現するには非常に長い時間を要するため、 実際は、ある特定の温度で10000時間に0.1%ひずみを生じさせる応力、 あるいは不可開始から5~10時間の間のクリープ速度が3×10-3%/hrになるときの応力を クリープ限度とし、設計に利用するのが一般的です。


1.5.許容応力と安全率

機械や構造物の強度評価について、単純に材料強度以下の応力に収まっていればよい、というわけにはいきません。 JISの規定に従って得られた材料強度は、試験片に対して得られたものであって、実使用環境におけるものではありません。 つまり、あらゆる使用環境に対する保証強度ではない、ということです。 実際、材料のばらつきや寸法ばらつき、使用環境のばらつきなど、様々な不確定要素を考慮すれば、 実使用に耐えうる最大応力=許容応力σaは材料の基準強さσfに対してある比率Sを持って、 その安全性を確保しなければなりません。 この比率Sを安全率と呼び、通常1より大きい値を選びます。



また、材料の基準強さについては、その使用条件から選び方が決まります。 ただし、これは製品の信頼性に直結するものであり、業界や会社の基準によって左右されることから、 設計者が置かれているルールに従って、材料の基準強さを選択する必要があります。


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