gijyutsu-keisan.com

3.3.フーリエ級数の収束性

3.3.1.滑らかな周期関数の収束

区間\([-\pi,\pi]\)において滑らかで周期\(2\pi\)を持つ関数を\(f(x)\)とします。 \(f(x)\)のフーリエ係数\(a_n,b_n\)は、部分積分を用いて\(f'(x)\)のフーリエ係数\(a'_n,b'_n\)で表せます。
\[ \begin{align} a_n & = \frac{1}{\pi} \int_{^\pi}^{\pi} f(t) \cos nt dt \\ & = \frac{1}{\pi} { \left[ f(t) \frac {\sin nt}{n} \ \right] \ \ }_{-\pi}^{\pi} - \frac{1}{\pi} \int_{^\pi}^{\pi} f'(t) \frac{\sin nt}{n} \ dt \\ & = -\frac{b_n'}{n} \\ \\ b_n & = \frac{1}{\pi} \int_{^\pi}^{\pi} f(t) \sin nt dt \\ & = \frac{1}{\pi} { \left[ f(t) \frac {\cos nt}{n} \ \right] \ \ }_{-\pi}^{\pi} + \frac{1}{\pi} \int_{^\pi}^{\pi} f'(t) \frac{\cos nt}{n} \ dt \\ & = \frac{a_n'}{n} \end{align} \]
\(f'(x)\)は区間\([-\pi,\pi]\)で連続かつ積分可能なので、ベッセルの不等式
\[ (f',f') \geqq \sum a_n'^2 + \sum b_n'^2 \]
が成り立つため、\( \sum a_n'^2, \sum b_n'^2 \ \)は収束します。 さらに、次の関係
\[ (a_n' \pm \frac{1}{n} )^2 \ = \ a_n'^2 + \frac{1}{n^2} \pm \frac{2 a_n'}{n} \geqq 0 \\ \Leftrightarrow \ a_n'^2 + \frac{1}{n^2} \geqq \left| \frac{2 a_n'}{n} \right| =\left| 2b_n \right| \]
があるため\( \sum b_n \)は収束し、同様に\( \sum a_n \)も収束します。

さて、区間\([-\pi,\pi]\)で三角関数系は完備条件を満たします(3.2節)。 \( f(x) \)のフーリエ級数
\[ \sum_{n=0}^{\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx) \]
について、\( | a_n \cos nx | \leqq a_n, | b_n \sin nx | \leqq b_n \)を満たすので、\( \sum a_n, \sum b_n \)も収束します。
従って、一様収束の定理によってフーリエ級数は\(f(x)\)に一様収束します。

一様収束の定理:\( |a_n(x)| \leqq c_n, c_n \)は正の定数で\( \sum c_n \)が収束すれば、\( \sum a_n(x) \)は一様収束する

参考文献