フーリエ級数展開
3．3．フーリエ級数の収束性
3．3．1．滑らかな周期関数の収束
区間\([-\pi,\pi]\)において滑らかで周期\(2\pi\)を持つ関数を\(f(x)\)とします。 \(f(x)\)のフーリエ係数\(a_n,b_n\)は、部分積分を用いて\(f'(x)\)のフーリエ係数\(a'_n,b'_n\)で表せます。\[
\begin{align}
a_n
& =
\frac{1}{\pi} \int_{^\pi}^{\pi} f(t) \cos nt dt
\\
& =
\frac{1}{\pi} { \left[ f(t) \frac {\sin nt}{n} \ \right] \ \ }_{-\pi}^{\pi}
- \frac{1}{\pi} \int_{^\pi}^{\pi} f'(t) \frac{\sin nt}{n} \ dt
\\
& =
-\frac{b_n'}{n}
\\
\\
b_n
& =
\frac{1}{\pi} \int_{^\pi}^{\pi} f(t) \sin nt dt
\\
& =
\frac{1}{\pi} { \left[ f(t) \frac {\cos nt}{n} \ \right] \ \ }_{-\pi}^{\pi}
+ \frac{1}{\pi} \int_{^\pi}^{\pi} f'(t) \frac{\cos nt}{n} \ dt
\\
& =
\frac{a_n'}{n}
\end{align}
\]
\(f'(x)\)は区間\([-\pi,\pi]\)で連続かつ積分可能なので、ベッセルの不等式
\[
(f',f')
\geqq
\sum a_n'^2 + \sum b_n'^2
\]
が成り立つため、\( \sum a_n'^2, \sum b_n'^2 \ \)は収束します。
さらに、次の関係
\[
(a_n' \pm \frac{1}{n} )^2
\
=
\
a_n'^2 + \frac{1}{n^2} \pm \frac{2 a_n'}{n} \geqq 0
\\
\Leftrightarrow
\
a_n'^2 + \frac{1}{n^2} \geqq \left| \frac{2 a_n'}{n} \right| =\left| 2b_n \right|
\]
があるため\( \sum b_n \)は収束し、同様に\( \sum a_n \)も収束します。
さて、区間\([-\pi,\pi]\)で三角関数系は完備条件を満たします（3.2節）。 \( f(x) \)のフーリエ級数
\[
\sum_{n=0}^{\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx)
\]
について、\( | a_n \cos nx | \leqq a_n, | b_n \sin nx | \leqq b_n \)を満たすので、\( \sum a_n, \sum b_n \)も収束します。
従って、一様収束の定理※によってフーリエ級数は\(f(x)\)に一様収束します。
一様収束の定理：\( |a_n(x)| \leqq c_n, c_n \)は正の定数で\( \sum c_n \)が収束すれば、\( \sum a_n(x) \)は一様収束する
