4．5．ベルヌーイの定理
ベルヌーイの定理とは、完全流体の“定常流”におけるエネルギー保存則です。 オイラーの式を変換した（4.3-7）式のうち、速度の時間変化項については定常流としているので0になります。\[
\frac{1}{2}\mathrm{grad}v^2 - \boldsymbol{v} \times \mathrm{rot} \boldsymbol{v}
=
-\mathrm{grad} h
\]
これを変形して
\[
\mathrm{grad} \left(
\frac{1}{2}\mathrm{grad}v^2 + h
\right)
=
\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{\omega}
\tag{4.5-1}
\]
が得られます。
hは単位質量あたりのエンタルピーです。
ここで、（4.5-1）式の両辺を流線の単位接線ベクトルで内積をとり、流線上に射影してみます。 単位接線ベクトルは、流線の線素長さ\( dl \)、流線上の任意の位置ベクトル\( \boldsymbol{r}(l) \)を用いて\( d \boldsymbol{r} / dl \)で表せるので、
\[
\mathrm{grad} \left(
\frac{1}{2}\mathrm{grad}v^2 + h
\right)
\cdot
\frac{ d \boldsymbol{r} }{dl}
=
( \boldsymbol{v} \times \boldsymbol{\omega} )
\cdot
\frac{ d \boldsymbol{r} }{dl}
\]
となります。
このとき、勾配の被関数を\( \Psi \)とおくと
\[
\mathrm{grad} \Psi \cdot \frac{d \boldsymbol{r}}{dl}
=
\frac{\partial \Psi}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial l} +
\frac{\partial \Psi}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial l} +
\frac{\partial \Psi}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial l}
=
\frac{\partial \Psi}{\partial l}
\]
の関係が得られます。
また、右辺\( (\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{\omega}) \)は\( \boldsymbol{v} \)に垂直なため0になります。
これらを（4.5-1）式に代入すると
\[
\frac{\partial}{\partial l} \left( \frac{1}{2}v^2 + h \right) =0
\]
\[
\Leftrightarrow
\quad
\frac{1}{2}v^2 + h=const
\tag{4.5-2}
\]
が得られます。
ベルヌーイの定理で重要なのは、
- この関係は1本の流線上で成立するもので、定数は各流線によって異なること
- 1本の流線上でエネルギーは不変であること
4．6．エネルギー流束
エネルギー流束は、流体の流れに伴って領域表面を通過するエネルギーで、流体内の固定領域Vのエネルギー変化に対応します。 これはエネルギー保存則に基づいています。流体が単位体積あたりに所有するエネルギーは、運動エネルギーと内部エネルギーの合計になります。 単位質量あたりの内部エネルギーをuで表すと、このエネルギーの時間変化は次のようになります。
\[
\frac{\partial}{\partial t}
\left(
\frac{1}{2}\rho v^2 + \rho u
\right)
\tag{4.6-1}
\]
運動エネルギーの時間変化については、連続の式とオイラーの式（4.3-5）から
\[
\begin{align}
\frac{\partial}{\partial t}
\left(
\frac{1}{2}\rho v^2
\right)
& =
\frac{1}{2}v^2 \frac{\partial \rho}{\partial t}
+ \rho \boldsymbol{v} \cdot \frac{\partial \boldsymbol{v}}{\partial t}
\\
&=
- \frac{1}{2}v^2 \mathrm{div} (\rho \boldsymbol{v})
- \rho \boldsymbol{v} \cdot (\boldsymbol{v} \cdot \mathrm{grad} ) \boldsymbol{v}
- \rho \boldsymbol{v} \cdot ( \mathrm{grad} h)
\end{align}
\tag{4.6-2}
\]
となります。右辺第二項を式変形すると、次のように書き換えられます。
\[
\begin{align}
\boldsymbol{v} \cdot (\boldsymbol{v} \cdot \mathrm{grad} ) \boldsymbol{v}
& =
v_i v_j \frac{\partial v_i}{\partial x_j}
\\
& =
v_j \frac{\partial}{\partial x_j} \left( \frac{1}{2}v^2 \right)
\\
& =
\boldsymbol{v} \cdot \mathrm{grad} \left( \frac{1}{2}v^2 \right)
\end{align}
\tag{4.6-3}
\]
今度は内部エネルギーの時間変化についてみていきます。
単位質量あたりのエンタルピー\( h = u + P/\rho \)に対して完全微分形をとったうえで、次のような変形を行います。
\[
\begin{align}
d ( \rho u)
& =
d ( \rho h ) - dP
\\
& =
h d \rho +\rho dh - dP
\\
& =
h d \rho + \rho T ds + dP - dP
\\
& =
h d\rho + \rho T ds
\end{align}
\tag{4.6-3}
\]
この結果を用いて
\[
\begin{align}
\frac{\partial}{\partial t}( \rho u)
& =
h \frac{\partial \rho}{\partial t} + \rho T \frac{\partial s}{\partial t}
\\
& =
- h \mathrm{div} ( \rho \boldsymbol{v} )
+ \rho T \boldsymbol{v} \cdot \mathrm{grad} s
\end{align}
\tag{4.6-4}
\]
が得られます。
完全流体は等エントロピー流であるから\( \mathrm{grad} s = 0 \)を考慮に入れて、（4.6-1）式は次のようになります。
\[
\begin{align}
\frac{\partial}{\partial t}
\left(
\rho \frac{1}{2}v^2 + \rho \boldsymbol{v}
\right)
& =
\frac{1}{2} v^2 \mathrm{div}( \rho \boldsymbol{v})
- \rho \boldsymbol{v} \cdot \mathrm{grad} \left(\frac{1}{2}v^2 \right)
- \rho \boldsymbol{v} \cdot (\mathrm{grad} h)
- h \mathrm{div} ( \rho \boldsymbol{v})
\\
& =
-\left( \frac{1}{2}v^2 + h \right) \mathrm{div}(\rho \boldsymbol{v})
-\rho \boldsymbol{v} \cdot \mathrm{grad} \left( \frac{1}{2}v^2 + h \right)
\end{align}
\]
従って、最終的に
\[
\frac{\partial}{\partial t}
\left(
\frac{1}{2} \rho v^2 + \rho u
\right)
=
- \mathrm{div} \left\{
\rho \boldsymbol{v}
\left( \frac{1}{2}v^2 + h \right)
\right\}
\tag{4.6-5}
\]
となります。この右辺の被関数
\[
\rho \boldsymbol{v}
\left( \frac{1}{2}v^2 + h \right)
\tag{4.6-6}
\]
をエネルギー流束密度と呼びます。
エネルギー流束密度の意味を明確にするため、（4.6-5）式をある領域にわたって体積積分すると、
\[
\begin{align}
\frac{\partial}{\partial t}
\int \left(
\frac{1}{2} \rho v^2 + \rho u
\right)
dV
& =
- \int \mathrm{div} \left\{
\rho \boldsymbol{v} \left(
\frac{1}{2}v^2 + h \right)
\right\}
dV
\\
& =
- \oint \rho \boldsymbol{v} \left(
\frac{1}{2}v^2 + h
\right)
\cdot d \boldsymbol{S}
\end{align}
\]
が得られます。
この式の意味は、流体内のある固定体積領域のエネルギー変化は、その表面から流出するエネルギーと等しい、ということです。
さらに、エネルギー流束密度の熱関数は内部エネルギーからエンタルピーに変わっています。
これは内部エネルギーのほかに圧力仕事の影響が加味されるためです。
\[
\oint \rho \boldsymbol{v}
\left(
\frac{1}{2}v^2 + h
\right)
\cdot d \boldsymbol{S}
=
\oint \rho \boldsymbol{v}
\left(
\frac{1}{2}v^2 + u
\right)
\cdot d \boldsymbol{S}
+
\oint P \boldsymbol{v} \cdot d \boldsymbol{S}
\]
