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4.4.渦の定理

4.4.1.ケルビンの循環定理

完全流体では、流体とともに動く任意の閉曲線Cに沿った循環は時間的に不変です。 これをケルビンの循環定理と呼びます。
図4.1.1-1 ケルビンの循環定理を証明するため、Cに沿う循環の時間変化について見ていきます。
\[ \begin{align} \frac{d \Gamma}{dt} & = \frac{d}{dt}\oint_C \boldsymbol{v} \cdot d \boldsymbol{l} \\ & = \oint_C \frac{d \boldsymbol{v}}{dt} \cdot d \boldsymbol{l} + \oint_C \boldsymbol{v} \cdot \frac{d}{dt} (d \boldsymbol{l}) \end{align} \tag{4.4.1-1} \]
上式右辺第一項は、オイラーの式(4.3-5)とストークスの定理により
\[ \begin{align} \oint_C \frac{d \boldsymbol{v}}{dt} \cdot d \boldsymbol{l} & = \oint_C -(\mathrm{grad} h) \cdot d \boldsymbol{l} \\ & = \oint_C -\mathrm{rot}(\mathrm{} h) \cdot d \boldsymbol{S} \end{align} \]
となります。 また、線素ベクトルは位置ベクトルを用いて\( d \boldsymbol{l} = \boldsymbol{r_2} - \boldsymbol{r_1} \)で表せるので、
\[ \frac{d}{dt}(d \boldsymbol{l}) = \frac{d}{dt}(\boldsymbol{r_2} - \boldsymbol{r_1}) = \boldsymbol{v_2} - \boldsymbol{v_1} = d \boldsymbol{v} \]
とできます。よって右辺第二項は
\[ \oint_C \boldsymbol{v} \cdot \frac{d}{dt} (d \boldsymbol{l}) = \oint_C \boldsymbol{v} \cdot d \boldsymbol{v} = \oint_C d \left( \frac{v^2}{2} \right) \]
となります。 この積分は、開始点と終了点の速度\( v_s,v_e \)のみで決まりますが、閉曲線で積分しているため\( v_s=v_e \)であり、
\[ \oint_C d \left( \frac{v^2}{2} \right) = 0 \]
になります。 以上により、Cに沿う循環は時間に対し不変となることが証明できました。
\[ \frac{d \Gamma}{dt} = 0 \tag{4.4.1-2} \]

4.4.2.ラグランジュの渦定理

完全流体では渦度は発生も消滅もしません。 つまり、
  • 渦あり流れは渦あり流れのまま
  • 渦なし流れは渦なし流れのまま
です。 これをラグランジュの渦定理と呼びます。 ラグランジュの渦定理は、循環が時間に対して不変であること(前節のケルビンの循環定理)から即座に導かれます。

4.4.3.ヘルムホルツの渦定理

完全流体では、1つの渦管は1つの渦管として保存され、その強さは一定になります。 これをヘルムホルツの渦定理と呼びます。

この証明に先立ち、渦面とその保存について見ていきます。
渦面とは、渦線によって張られた曲面です。
図4.4.3-1
図4.4.3-1 渦面
ここで、ある時刻tで張られた渦面S上に任意の閉曲線Cをとると、その循環は
\[ \Gamma(C) = \oint_C \boldsymbol{v} \cdot d \boldsymbol{l} = \oint_S \boldsymbol{\omega} \cdot d \boldsymbol{S} \]
となります。 何故なら渦線は閉曲線Cを面外方向につらぬかないためです。 また時間\( \Delta t \)後、閉曲線CがC'に移ったとし、C'によって張られた曲面をS'とします。 このときCとC'の循環の間には、ケルビンの循環の定理によって\( \Gamma(C) = \Gamma(C') = 0 \)が成り立ちます。
C'はCを適当に選ぶことで曲面S'上で任意にとれます。 さらに\( \Gamma(C') = 0 \)から渦線は曲面S'上にのっており、S'は渦面です。 以上の結果、渦面は流体の運動に伴って1つの渦面として保存されます。 これを渦管に適用します。
渦管の側面は渦線によって張られる局面なので渦面となります。
そこで、渦管の側面上を一周するような閉曲線Cを考えると、ケルビンの循環定理によってCに沿う循環は時間に対し不変(一定)となります。 これは渦管の強さが不変であることを意味しています(2.3.4節参照)。
循環の断面積を無限小にすると渦管は渦糸となって、その強さは渦糸の断面積を\( \sigma \)とおいて
\[ d \Gamma = \omega \sigma \tag{4.4.3-1} \]
で表せます。 ここで、渦糸の線素\( d \boldsymbol{l} \)を用いてその体積は\( \sigma d \boldsymbol{l} \)、質量\( \rho \sigma d \boldsymbol{l} \)はとなります。 質量保存則(連続の式)から渦糸の質量\( \rho \sigma d \boldsymbol{l} \)は一定に保たれ、さらにヘルムホルツの渦定理から渦糸の循環\( d \Gamma \)も一定に保たれます。 従って、
\[ \frac{\rho d \boldsymbol{l}}{\omega} = const \tag{4.4.3-2} \]
の関係が得られます。 特に完全流体が非圧縮(\( \rho = const \))の場合、渦糸の伸び縮みに対して渦度は比例します。
  • 渦糸が伸びる→渦度大
  • 渦糸が縮む→渦糸小

参考文献