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1.4.線素・面素・体素

線素は曲線の微小長さ要素を表します。 ベクトル d \boldsymbol{l} として扱い、その長さは微小長さ dl 、方向は曲線の接線方向と一致します。
面素は曲面の微小面積要素を表します。 ベクトル d \boldsymbol{S} として扱い、その大きさは微小面積 dS 、方向は面素の法線方向と一致します。
体素は領域の微小体積要素を表します。 これらは主に線積分、面積分、体積積分で用いられる概念です。
図1.4-1 線素・面素・体素
図1.4-1 線素・面素・体素

1.5.数学の準備

ここでは数学そのものの話ではなく、流体力学で頻出する公式や規則の紹介のみとします。
なお、本サイトのパラメータについて、太字(例えば \boldsymbol{v} \boldsymbol{r} など)をベクトル、標準字(例えば p \rho など)をスカラーとして扱います。

1.5.1.テンソル

テンソルとは、端的に言えば複数のベクトル \boldsymbol{u},\boldsymbol{v},⋯ をスカラーに写す関数 T(\boldsymbol{u},\boldsymbol{v},⋯) です。流体(連続体)力学で用いられるテンソルは、三次元ベクトルをスカラーに変換するものです。

(1)テンソルの階数

例えば、空間座標の軸単位ベクトル e_x,e_y,e_z のうちの2つを変数とするテンソル関数 T(e_i,e_j ) よって決まるスカラー量を次のように定義します。
T(e_i,e_j )=T_{ij} \qquad (i,j=x,y,z)
すると、 i,j の組み合わせによって9個の値が得られます。
\begin{eqnarray} \left( \begin{array}{ccc} t_{11} & t_{12} & t_{13} \\ t_{21} & t_{22} & t_{23} \\ t_{31} & t_{32} & t_{33} \\ \end{array} \right) \end{eqnarray}
このテンソル T は添字を二つ持つ成分で構成され、二階テンソルといいます。 添字が一つの成分で構成されるテンソルを一階テンソル、一般化して添字が n 個のテンソルをn階テンソルと呼びます。 スカラーは0階テンソルとして扱われます。

(2)テンソルの縮約表記

同じ添え字があるときは、その添え字について和をとることにします。 目的は表記の簡素化です。
\begin{array} v_j \frac{\partial v_i}{\partial x_j} & = \displaystyle \sum_{ j = x,y,z } v_j \frac{\partial v_i}{\partial x_j} \\ & \displaystyle = v_x \frac{\partial v_i}{\partial x} +v_y \frac{\partial v_i}{\partial y} +v_z \frac{\partial v_i}{\partial z} \end{array}

(3)ダイアド積

\left( \begin{array}{ccc} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ \end{array} \right) \otimes \left( \begin{array}{ccc} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ \end{array} \right) = \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{ccc} a_1b_1 & a_1b_2 & a_1b_3 \\ a_2b_1 & a_2b_2 & a_2b_3 \\ a_3b_1 & a_3b_2 & a_3b_3 \\ \end{array} \right) \end{eqnarray}

1.5.2.完全微分

関数 f(x,y,z) について
df = \frac{\partial f}{\partial x}dx +\frac{\partial f}{\partial y}dy +\frac{\partial f}{\partial z}dz

1.5.3.ベクトル微分

ベクトルの微分演算子としてナブラ演算子 \nabla を次のように定義します。
\nabla = \left( \begin{array}{ccc} \displaystyle \frac{\partial}{\partial x} \\ \displaystyle \frac{\partial}{\partial y} \\ \displaystyle \frac{\partial}{\partial z} \end{array} \right)

(1)勾配:grad

\mathrm{grad} \Phi = \nabla \Phi = \left( \begin{array}{ccc} \displaystyle \frac{\partial \Phi}{\partial x} \\ \displaystyle \frac{\partial \Phi}{\partial y} \\ \displaystyle \frac{\partial \Phi}{\partial z} \end{array} \right)

(2)発散:div

ベクトル関数 \boldsymbol{A}(x,y,z) に対して
\mathrm{div} \boldsymbol{A} = \nabla \cdot \boldsymbol{A} = \frac{\partial A_x}{\partial x}dx +\frac{\partial A_y}{\partial y}dy +\frac{\partial A_z}{\partial z}dz

(3)回転:rot

ベクトル関数 \boldsymbol{A}(x,y,z) に対して
\mathrm{rot} A = \nabla \times A = \left( \begin{array}{ccc} \displaystyle \frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z} \\ \displaystyle \frac{\partial A_x}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial x} \\ \displaystyle \frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y} \end{array} \right)

(4)ラプラシアン

関数 \Phi(x,y,z) に対して
\Delta \Phi = \nabla^2 \Phi = \mathrm{div(grad} \Phi ) = \frac{\partial^2 \Phi }{\partial x^2} +\frac{\partial^2 \Phi }{\partial y^2} +\frac{\partial^2 \Phi }{\partial z^2}

(5)ベクトルで微分

関数 \Phi(\boldsymbol{r}) に対して
\frac{d \Phi}{d \boldsymbol{r}} = \mathrm{grad} \Phi = \left( \begin{array}{ccc} \displaystyle \frac{\partial \Phi}{\partial x} \\ \displaystyle \frac{\partial \Phi}{\partial y} \\ \displaystyle \frac{\partial \Phi}{\partial z} \end{array} \right)
ベクトル関数 \boldsymbol{A}(\boldsymbol{r}) に対して
\begin{align} \frac{d \boldsymbol{A}(\boldsymbol{r})}{d \boldsymbol{r}} & = \mathrm{grad} \boldsymbol{A} \\ & = ( \mathrm{grad} A_x, \mathrm{grad} A_y, \mathrm{grad} A_z ) \\ \\ & = \left( \begin{array}{ccc} \displaystyle \frac{\partial A_x}{\partial x} & \displaystyle \frac{\partial A_x}{\partial y} & \displaystyle \frac{\partial A_x}{\partial z} \\ \displaystyle \frac{\partial A_y}{\partial x} & \displaystyle \frac{\partial A_y}{\partial y} & \displaystyle \frac{\partial A_y}{\partial z} \\ \displaystyle \frac{\partial A_z}{\partial x} & \displaystyle \frac{\partial A_z}{\partial y} & \displaystyle \frac{\partial A_z}{\partial z} \end{array} \right) \end{align}

(6)ベクトル演算子の公式

  • \mathrm{div}(\Phi \boldsymbol{A}) = \Phi \mathrm{div} \boldsymbol{A} + \mathrm{grad} \Phi \cdot \boldsymbol{A}
  • \mathrm{rot}(\Phi \boldsymbol{A}) = (\mathrm{grad} \Phi) \times \boldsymbol{A} + \Phi \mathrm{rot} \boldsymbol{A}
  • \mathrm{div}(\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B}) = \boldsymbol{B} \cdot \mathrm{rot} \boldsymbol{A} - \boldsymbol{A} \cdot \mathrm{rot} \boldsymbol{B}
  • \mathrm{rot}(\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B}) = ( \boldsymbol{B} \cdot \mathrm{grad} ) \boldsymbol{A} - ( \boldsymbol{A} \cdot \mathrm{grad} ) \boldsymbol{B} + \boldsymbol{A} ( \mathrm{div} \boldsymbol{B})
  • \mathrm{rot}(\mathrm{grad} \Phi) = 0
  • \mathrm{div}(\mathrm{rot} \Phi) = 0
  • \mathrm{rot}(\mathrm{rot} \boldsymbol{A}) = \mathrm{rot} ( \mathrm{div} \boldsymbol{A} ) - \mathrm{\Delta} \boldsymbol{A}

1.5.4.積分

ベクトル関数 \boldsymbol{A} に対して、次の積分変換が成り立ちます。

(1)ガウスの定理:面積分~体積積分の変換

領域Sの面積分~領域Sで囲まれた体積領域Vの体積積分の変換
\displaystyle \oint_S \boldsymbol{A} \cdot d \boldsymbol{S} = \displaystyle \int_V ( \mathrm{div} \boldsymbol{A} ) dV

(2)ストークスの定理:線積分~面積分の変換

閉曲線Cに沿っての線積分~閉曲線Cで囲まれた領域Sの面積分の変換
\displaystyle \oint_C \boldsymbol{A} \cdot d \boldsymbol{r} = \displaystyle \oint_S ( \mathrm{rot} \boldsymbol{A} ) \cdot d \boldsymbol{S}

(3)線積分が経路に依らない条件(積分が始点Pと終点Qのみで決まる条件)

\mathrm{rot} \boldsymbol{A} = \boldsymbol{0} \Leftrightarrow \boldsymbol{A} = \mathrm{grad} \Phi \Leftrightarrow \displaystyle \int_{P}^{Q} \boldsymbol{A} \cdot d \boldsymbol{r} = \Phi(P) - \Phi(Q)

参考文献