5．渦

5．1．渦と渦度

“渦”とは辞書によると、「らせん状に巡る激しい水や空気の流れ、またその模様」とありますが、 現在でも物理的に確立された定義はありません。 としてしまうと元も子もありませんので、 ここでは一般的な渦の定義を用いて話を進めることにします。
まずは渦の定義をするにあたり、渦度というパラメータを定義します。 渦度は流束ベクトルvのrotを取ったものとします。

流体の運動は並進、回転の6自由度を有します。 流体の並進運動が流速ベクトルvで定義できるのに対し、 回転運動を規定するものが渦度ベクトルωとなります。
この渦度を用いて渦を次のように定義します。
流体内部で渦度がある狭い領域に集中して存在しているとき、 その領域および近傍の流れを“渦”と定義します。 この定義から、ω＝0のときは例え流れに回転が生じていても それを渦とは呼びません。 それとは逆に、見た目に回転が生じていなくてもω≠0のときは 渦が生じていることになります。

図5.1－1　渦流れの例（渦層）

5．2．循環

循環は、渦と関係する重要なパラメータになります。 流体力学における循環とは、 流体内のある閉曲線Cに沿って流速vの接線方向成分を積分したもの になります。

この式はストークスの定理によって面積積分に変換できます。

rot v＝ωであることから、渦度を用いて循環を表すことが出来ます。

（5.2－3）式から、循環とは 流体中にとった断面領域を貫く渦度ベクトルωの法線方向の集まり ＝渦度の強さ、と言い換えることが出来ます。

図5.2－1　循環の持つ意味

5．3．循環の保存

5．3．1．ケルビンの定理

ここでは理想流体における循環の特徴について考えます。 そこで、循環の時間変化について見てみます。
流体中に任意の閉曲線Cを設定し、C上の流体粒子の運動に着目します。 ある時刻tの閉曲線Cは、Δt秒後C'になるものとします。 このとき、時刻tとt＋Δtの循環は次のように表せます。

図5.3.1－1　循環の時間変化

さて、閉曲線C上のあるの時間Δt経過後の位置は次のように表せます。

このうちr＋dl＋v(r＋dl,t)dtについては、 テイラー展開を行い二次以降の微小項を無視すれば

となります。 以上より、dl'は次のようになります。

これを（5.3.1－1）式のΓ(t＋Δt)に代入すると、

ここで速度の項をテイラー展開して二次以降の微小項を無視すれば、

（5.3.1－4）式を（5.3.1－3)式に代入して、さらにdtに関する二次以降の微小項を無視すると、

ここで、右辺第二項を

に書き換え、 右辺第三項は変形オイラーの式（3.3－3）を代入することで、以下のように書き換えられます。 （この時点で、理想流体の縛りを入れることに注意！！）

以上より、時間Δtでの循環の変化は次のように表せます。

ところで、閉曲線周りのグラジエント（grad）の積分は0なので、（5.3.1－5）式は

が成り立ちます。 つまり、 理想流体において流体とともに動く閉曲線Cのまわりの循環は時間について一定 であることがわかります。

この（5.3.1－7）式が成り立つことを、 循環の保存則またはケルビンの定理と呼びます。

5．3．2．循環が保存することの意味

流体内の局所領域＝流体粒子について考えます。 流体粒子がある時刻に循環dΓを有しているときは、 この流体粒子には渦度ωが存在し、（5.2－3）式

が成立します。 これが時間的に不変であることを（5.3.1－7）式は表しています。 そのため、流体粒子の渦度ωも不変 であることがわかります。 ただし、この場合理想流体であることが前提なため、流体には粘性がない場合に限ります。 「渦度ωが時間に対して不変である」ということは、 理想流体において、渦が最初から発生していればそれは不滅であり、 最初からなければ一生発生しない、という結論が得られます。

5．4．ポテンシャル流

流体内の全空間においてω＝rot v＝0が成立する流れを ポテンシャル流＝渦なしの流れと呼びます。 ポテンシャル流では流速ベクトルvをスカラーφを用いて次のように表すことができます。

このスカラーφを速度ポテンシャルと呼びます。 ポテンシャル流において、 流速ベクトルvが（5.4－1）式のように表せる根拠について以下に示します。
流体内に任意の2点r₁、r₂があります。

図5.4－1　流体中の循環

今、r₁からr₂への任意の 経路C₁、C₂に対する線積分を考えます。

r₁からC₁を通ってr₂を経由し、 C₂を通ってr₁へ戻る閉曲線上の積分は次のようになります。

なお、閉曲線の線積分を面積分に変換するのに、ストークスの定理を用いました。 上式より I₁=I₂になり、 経路C₁、C₂は任意性を持ちますので、 線積分は経路両端の点r₁、r₂にのみ依存> することがわかります。 ここで、r₁からr₂への線積分を次のように定義します。

今、r₁とr₂が微小なベクトルΔrだけ離れているとすると、 ある基準点r₀を用いて

と表せます。 基準点r₀は共通なので表記を省略し、 Δrは微小ベクトルなので左辺は次のように書き直すことができます。

（5.4－2）（5.4－3）式から

となり、（5.4－1）式が算出されました。 経路C₁、C₂とともに、 2点r₁、r₂も任意性を持ちますので、 流体内において渦度はどこでもω＝0になります。 また、この流速ベクトルがω＝0を満たすことは 成分計算することによって即座に確かめることができます。
さらに 循環の保存則から、ある時刻に流れがポテンシャル流であれば、 それ以降常に流れはポテンシャル流になります。 （5.3－7）式を用いて、ポテンシャル流が時間に対して保存されることを示します。

上式からωは時間にかかわらず一定であることがわかります。 ある時刻でω＝0ならば、それが時間に対して保存されますので、 ポテンシャル流は常にその状態を保存することになります。
ポテンシャル流の特徴をまとめると、次のようなものになります。 （1）流れに渦は存在しない （2）ある時刻にポテンシャル流であれば、それ以降も流れはポテンシャル流である

（ただし、条件として流れは等エントロピー的であること）

参考文献

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