弾性論
3．4．熱膨張
一般に、物体は外力を受けなくても温度変化に伴って変形します。 これを熱膨張と呼びます。熱膨張を数式表現するため、物体の自由エネルギー\( F \)に着目します。
物体の温度が\( T_o \)から\( T \)に変化するとき、外力の作用がなくても物体は変形するのでひずみが生じます。 従って、自由エネルギー\( F \)はひずみテンソル\( \epsilon_{ij} \ \)の一次の項を含むことになります （3.2節では物体の変形が等温過程であっため、\( F \)には\( \epsilon_{ij} \ \)の一次の項が含まれませんでした）。
\( F \)がスカラーであることに変わりありませんので、\( F \)は\( \epsilon_{ij} \ \)によって作られる一次スカラーを含まなければなりません。 この一次スカラーに該当するのはひずみテンソルの対角和\( \epsilon_{ll} \ \)のみになります。 従って、自由エネルギーFは（3.2－3）式を考慮して、
\[
F(T) = F(T_o) + c_1 \epsilon_{ll} + \frac{K}{2} \epsilon ^2
+\mu \left( \epsilon_{ij} - \frac{1}{3} \delta_{ij} \epsilon_{ll} \right) ^2
\]
の形をとります。
なお、微小変形を扱っているので、温度変化\( (T - T_o ) \)もまた微小と考えられます。 従って、\( F \)に含まれる温度変化\( (T - T_o ) \)の項は一次までを考慮します。 また\( \epsilon_{ll} \)の係数\( c_1 \)は、\( T = T_o \)のとき\( c_1 = 0 \)でなければならないので、\( (T - T_o ) \)に比例すると考えられます。 以上のことを考慮すると、自由エネルギー\( F \)は次式で表せます。
\[
F(T) = F(T_o) - K \alpha (T - T_o) \epsilon_{ll}
+ \frac{K}{2} \epsilon ^2
+\mu \left( \epsilon_{ij} - \frac{1}{3} \delta_{ij} \epsilon_{ll} \right) ^2
\tag{3.4-1}
\]
温度の微小変化に知足て、\( K,μ,α \)は一定とみなすことができます。
また、\( (T - T_o ) \)の係数に\( K \)がついているのは、後の計算上の扱い勝手によるところです。
次に、応力との関係をみます。
（3.4－1）式をひずみテンソル\( \epsilon_{ij} \)で微分すると次式になります。
\[
\frac{dF}{d \epsilon_{ij}}
= -K \alpha ( T - T_o ) \delta{ij} + K \epsilon_{ll} \delta_{ij}
+ 2 \mu \left( \epsilon_{ij} - \frac{1}{3} \delta_{ij} \ \epsilon_{ll} \right)
\]
これを（3.2－4）式と比較すると、右辺第二＋第三項は応力テンソルであるので、
この式自体も応力を示していることが分かります
（単位に着目すればわかります）。
つまり、等温過程でなくても\( F \)の\( \epsilon_{ij} \)による微分は応力テンソルを示す、
ということになります。
従って、右辺第一項は温度変化によって生じる付加応力である、とみることができます。
\[
\sigma_{ij}
= -K \alpha ( T - T_o ) \delta{ij} + K \epsilon_{ll} \delta_{ij}
+ 2 \mu \left( \epsilon_{ij} - \frac{1}{3} \delta_{ij} \ \epsilon_{ll} \right)
\tag{3.4-2}
\]
もし物体に外力が作用しなければ、物体の内部応力は0でなければなりません。
このとき（3.4－2）式について、応力の対角成分（圧縮）と非対角成分（せん断）に分けて考え（3.2－6）式を参考にすれば、次の結果を得ます。
- 圧縮変形： \( 0 = K \alpha (T - T_o) \delta_{ij} + K \epsilon{ll} \delta_{ij} \)
- ひずみ変形： \( 0 = 2 \mu \left( \epsilon_{ij} - \frac{1}{3} \delta_{ij} \epsilon_{ll} \right) \)
\( (3.4-3) \)
\[
\epsilon_{ll} = \alpha ( T - T_o )
\tag{3.4-4}
\]
の関係が得られます。
これは体積ひずみ\( \epsilon_{ll} \)が温度変化と比例関係にあることを示しており、
この比例定数\( \alpha \)を物体の熱膨張係数と呼びます。
物体の変形において、
- 等温変形
- 断熱変形
（1）等温変形はすでに3.2節、 3.3節で見た通りです。
（2）断熱変形は、物体がその周囲とエネルギー交換をしない場合に起こります （現実的ではありませんが、そこから得られる特性を知ることは十分に意味があります）。 この場合、エントロピー\( S \)は一定であり(\( TdS = dQ = 0 \))、（3.4－1）式を温度\( T \)で微分すると、
\[
\left( \frac{\partial F}{\partial T} \right)_s = - K \alpha \epsilon_{ll}
\]
となります。
さらに（3.1－5）式をみると、外力の作用がない状況では\( \sigma_{ij} = 0 \)であることから、
自由エネルギー\( F \)を温度\( T \)で微分したものはエントロピー\( S \)と等しくなるので( \( \partial F/ \partial T = -S \))、上式は次のように表せます。
\[
S(T) - S(T_o) = K \alpha \epsilon_{ll}
\tag{3.4-5}
\]
単一物質の状態量について熱力学によると、2つの状態量が決まれば他の1つの状態量が決まります。
これに従えば、物体の体積、エントロピーは状態量ですから、その温度変化\( (T - T_o ) \)は何等かの熱力学的な方法で決まります。
従って、（3.4－5）式はさらに
\[
\gamma ( T-T_o ) = K \alpha \epsilon_{ll}
\]
と書き換えることができ、これを（3.4－2）式に取り込むことで次の関係式が得られます。
\[
\sigma_{ij}
= K_{ad} \ \epsilon_{ll} \ \delta_{ij}
+ 2 \mu \left( \epsilon_{ij} - \frac{1}{3} \delta_{ij} \ \epsilon_{ll} \right)
\tag{3.4-6}
\]
これは断熱過程での応力テンソルであり、\( K_{ad} \)は断熱過程における圧縮率を意味します。
\( \mu \)については等温過程とおなじせん断率になります。
断熱圧縮率\( K_{ad} \)と等温圧縮率\( K \)の関係は、熱力学上の関係から導き出されます。
\[
\left( \frac{\partial V}{\partial P} \right)_S
=
\left( \frac{\partial V}{\partial P} \right)_T
+ \frac{T}{C_P}\left( \frac{\partial V}{\partial T} \right)_P^2
\\
\tag{3.4-7}
\]
\[
(C_P：定圧比熱)
\]
それぞれの変化率には次の意味があります。
\[
\begin{align}
\left( \frac{\partial V}{\partial P} \right)_S
&: \ \large{等エントロピー過程での応力体積変化率}
\\
\left( \frac{\partial V}{\partial P} \right)_T
&: \ \large{等温過程での応力体積変化率}
\\
\left( \frac{\partial V}{\partial T} \right)_P
&: \ \large{応力一定下での温度体積変化率}
\end{align}
\]
つまり断熱圧縮率\( K_{ad} \)、等温圧縮率\( K \)、熱膨張係数\( \alpha \)がこれらに対応して、
\[
\left( \frac{\partial V}{\partial P} \right)_S
= - \frac{1}{K_{ad}}
, \
\left( \frac{\partial V}{\partial P} \right)_T
= - \frac{1}{K}
, \
\left( \frac{\partial V}{\partial T} \right)_P
= \alpha
\tag{3.4-8}
\]
これをもとに、断熱過程における縦弾性率（ヤング率）\( E_{ad} \)とポアソン比\( \nu \)が次式として得られます。
\[
\begin{align}
E_{ad}
&= \frac{E}{1- E \displaystyle \frac{T \alpha^2}{9 C_P}}
\simeq E + E^2 \frac{T \alpha^2}{9 C_P}
\\
\\
\nu_{ad}
&= \frac{\nu + E \displaystyle \frac{T \alpha^2}{9 C_P}}{1- E \displaystyle \frac{T \alpha^2}{9 C_P}}
\simeq \nu + ( 1 + \nu ) E \frac{T \alpha^2}{9 C_P}
\end{align}
\]
\[
\left(
\because E \displaystyle \frac{T \alpha^2}{9 C_P}は微小
\right)
\]
最後に等方変形について、等温過程での応力テンソル（3.1－8）式に対応する等エントロピー過程での応力テンソルは（3.1－7）式になります。
\[
\sigma_{ij}
= \left( \frac{\partial U}{\partial \epsilon_{ij}} \right)_S
\tag{3.1-7}
\]
従って、等温変形における自由エネルギーの式（3.2－3）に対応する断熱変形における内部エネルギーは次式によって定まります。
\[
U
=
\frac{K_{ad}}{2} \epsilon_{ll}^2
+ \mu \left( \epsilon_{ij} - \frac{1}{3} \delta_{ij} \ \epsilon_{ll} \right)^2
\tag{3.4-10}
\]
