弾性論
3．3．均等変形
物体内のひずみテンソルがいたるところで一定である変形を均等変形と呼びます。 一般的（工学的）な材料力学において述べられているひずみ、応力、弾性係数、ポアソン比は均等変形が前提になります。ここで、棒の単純引張りについて考えます。
棒の軸をz軸とし、両端に一様に単位面積あたり\( P \)の力を、棒を引っ張る方向に作用させます。
図3.3－1 棒の単純引っ張り
棒が均等変形していれば（3.2－5）式により応力テンソル\( \sigma_{ij} \)も一定になります。 この条件により棒の境界条件を決定できます。 棒の側面はz軸と必ず垂直になるので、側面の面素ベクトルは\( (n_x, \ n_y, \ 0) \)になります。 また、側面に外力は作用しないため、側面上の応力テンソルは\( \sigma_{ij} \ n_j = 0 \)になります。これらにより次の恒等式が得られ、\[
\sigma_{ix} n_x + \sigma_{iy} n_y + \sigma_{iz} n_z = 0
\land \
( n_x = 0 \lor n_y = 0 )
\]
これを満たす条件は、\( \sigma_zz \)以外の応力テンソル成分はすべて0になります。
また、棒端面に対しては、
\[
\sigma_{zz} = p
\\
( \because
n_x = 0,
n_y = 0,
n_z = 1
)
\]
が成り立ちます。
ひずみと応力テンソルの関係式（2.3－9）からせん断ひずみ成分（ひずみの非対角成分）はすべて0になります。
従って、圧縮ひずみ成分に関する次の関係が得られます。
\[
\begin{align}
&\epsilon_{zz}
= \frac{1}{3} \left( \frac{1}{\mu} + \frac{1}{3K} \right) P
\tag{3.3-1}
\\
&\epsilon_{xx}
= \epsilon_{yy}
= -\frac{1}{3} \left( \frac{1}{2 \mu} - \frac{1}{3K} \right) P
\tag{3.3-2}
\end{align}
\]
ここで、
\[
\frac{1}{E} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{\mu} + \frac{1}{3K} \right)
\Leftrightarrow \
E = \frac{9 K \mu}{3K + \mu}
\tag{3.3-3}
\]
とおくと（3.2－1）式は非常に簡単な形になります。
\[
P = E \epsilon_{zz}
\tag{3.3-4}
\]
この係数\( E \)を縦弾性係数（ヤング率）と呼びます。
また、縦伸びに対する横縮みの比をとって
\[
\nu
= \frac{\epsilon_{xx}}{\epsilon_{zz}}
= \frac{3K - 2 \mu}{ 2 ( 3K + \mu ) }
\tag{3.3-5}
\]
をポアソン比と呼びます。
ここで\( x = \mu / K \)とおくと
\[
\nu = \frac{3 - 2 x}{ 2 ( 3 + x ) }
\]
が得られ、\( K > 0 ,\ μ > 0 \)から\( x = 0 \)のとき\( \nu = 1 / 2 \)、
\( x \rightarrow ∞ \)のとき\( \nu \rightarrow -1 \)からポアソン比の変化域が定まります。
現実には\( \nu < 0 \)となる物体は確認されていないため、\( 0 ≤ \nu < 1 / 2 \)がポアソン比の取りうる範囲になります。
次に、体積変化率を（3.3－1）（3.3－2）式から計算します。
\[
\epsilon_{ll}
= -\frac{2}{3} \left( \frac{1}{2 \mu} - \frac{1}{3K} \right) P
+ \frac{1}{3} \left( \frac{1}{\mu} + \frac{1}{3K} \right) P
=\frac{P}{3K}
\tag{3.3-6}
\]
自由エネルギー\( F \)は、応力テンソルが\( \sigma_{zz} \)以外すべて0であることを（3.2－11）式に適用することで求まります。
\[
F
= \frac{1}{2} \sigma_{ij} \ \epsilon_{ij}
= \frac{1}{2} \sigma_{zz} \ \epsilon_{zz}
= \frac{P^2}{2E}
\tag{3.3-7}
\]
このように均等変形を条件として与えることで、実用的（工学的）によく知られる材料力学の関係式が得られます。
そこで、係数\( K , \ \mu \)を、一般的に用いられることの多い\( E ,\ \nu \)に置き換えてみます。
\[
\mu = \frac{E}{2 ( 1 + \nu ) }
\ , \
K = \frac{E}{3 ( 1 - 2\nu ) }
\tag{3.3-8}
\]
自由エネルギー\( F \)の一般式（3.2－3）式については
\[
\begin{align}
F
&= \frac{K}{2} \epsilon_{ll}^2 + \mu \left( \epsilon_{ij} - \frac{1}{3} \delta_{ij} \ \epsilon_{ll} \right)^2
\\
&= \frac{E}{2 ( 1 + \nu )} \ \left( \epsilon_{ij}^2 + \frac{ \nu }{ 1 - 2 \nu } \epsilon_{ll}^2 \right)
\end{align}
\tag{3.3-9}
\]
となります。
また応力テンソル（3.2－5）式とひずみテンソル（3.2－9）式はそれぞれ次のように書き換えられます。
\[
\begin{align}
\sigma_{ij}
&= K \epsilon_{ll} \delta_{ij} + 2 \mu \left( \epsilon_{ij} - \frac{1}{3} \delta_{ij} \ \epsilon_{ll} \right)
\\
&= \frac{E}{1 + \nu} \ \left( \epsilon_{ij} + \frac{ \nu }{ 1 - 2 \nu } \epsilon_{ll} \ \delta_{ij} \right)
\end{align}
\tag{3.3-10}
\]
\[
\begin{align}
\epsilon_{ij}
&= \frac{1}{9K} \ \delta_{ij} \sigma_{ll} + \frac{1}{2 \mu} \left( \sigma_{ij} - \frac{1}{3} \delta_{ij} \ \sigma_{ll} \right)
\\
&= \frac{1}{E} \left( ( 1 + \nu ) \sigma_{ij} - \nu \sigma_{ll} \ \delta_{ij} \right)
\end{align}
\tag{3.3-11}
\]
なお、（3.3－10）、（3.3－11）式は利用頻度が高いことから、その成分形を参考に記述しておきます。
応力テンソル（3.3－10）式について
\[
\begin{align}
&\sigma_{xx}
= \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \ \ \{(1-\nu) \epsilon_{xx} + \nu ( \epsilon_{yy} + \epsilon_{zz}) \}
\\
&\sigma_{yy}
= \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \ \ \{(1-\nu) \epsilon_{yy} + \nu ( \epsilon_{zz} + \epsilon_{xx}) \}
\\
&\sigma_{zz}
= \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \ \ \{(1-\nu) \epsilon_{zz} + \nu ( \epsilon_{xx} + \epsilon_{yy}) \}
\\
&\sigma_{xy}
= \frac{E}{1 + \nu} \epsilon_{xy}
\ , \
\sigma_{yz}
= \frac{E}{1 + \nu} \epsilon_{yz}
\ , \
\sigma_{zx}
= \frac{E}{1 + \nu} \epsilon_{zx}
\end{align}
\]
ひずみテンソル（3.3－11）式について
\[
\begin{align}
&\epsilon_{xx}
= \frac{1}{E} \{ \sigma_{xx} - \nu ( \sigma_{yy} + \sigma{zz} ) \}
\\
&\epsilon_{yy}
= \frac{1}{E} \{ \sigma_{yy} - \nu ( \sigma_{zz} + \sigma{xx} ) \}
\\
&\epsilon_{zz}
= \frac{1}{E} \{ \sigma_{zz} - \nu ( \sigma_{xx} + \sigma{yy} ) \}
\\
&\epsilon_{xy}
= \frac{1 + \nu }{E} \sigma_{xy}
\ , \
\epsilon_{yz}
= \frac{1 + \nu }{E} \sigma_{yz}
\ , \
\epsilon_{zx}
= \frac{1 + \nu }{E} \sigma_{zx}
\end{align}
\]
