2.厚肉円筒

下図の厚肉円筒に、内圧と外圧が作用することで生じる応力と変形量を求めてみます。

厚肉円筒

厚肉円筒内の微小要素に作用する応力は、径方向応力\( \sigma_r \)、周方向応力\( \sigma_t \)の2成分で表現できます。 このとき、微小要素に対する径方向の力のつりあい式は次のようになります。 \[ ( \sigma_r + d \sigma_r ) ( r + dr ) d \theta - \sigma_r r d \theta - 2 \sigma_t \frac { d \theta }{ 2 } dr = 0 \tag{2-1} \] 特に\( \sigma_t \)の項は、微小要素が曲がっていることによって生じるもので、忘れないように注意する必要があります。
この式を地道に展開計算し \[ \begin{align} (1)式 & = ( \sigma_r r + \sigma_r dr + r d \sigma_r + dr d \sigma_r ) d \theta - \sigma_r r d \theta - \sigma_t d \theta dr \\ & = \sigma_r dr d \theta + r d \sigma_r d \theta + dr d \sigma_r d \theta - \sigma_t d \theta dr \\ & \simeq ( \sigma_r dr - \sigma_t dr + r d \sigma_r ) d \theta \\ & = 0 \end{align} \] 以上の計算から、次の微分方程式が得られます。 \[ r \frac{ d \sigma_r }{ dr } = \sigma_t - \sigma_r \tag{2} \] ところで、断面は円筒が変形しても平面を保つものと仮定すると、軸方向のひずみ\( \epsilon_z \)は一定になります。 軸方向応力を\( \sigma_z \)とおいて、\( \epsilon_z \)は次のように表せます。 \[ \frac{ 1 }{ E } \{ \sigma_z - \nu ( \sigma_t + \sigma_r ) \} = \epsilon_z = const \tag{3} \]
さて、円筒の両端が開放されていれば\( \sigma_z = 0 \)であるし、固定されていれば\( \sigma_z \)は
\[ \pi ( r_2^2 - r_1^2 ) \sigma_z = \pi r_2^2 p_2 - \pi r_1^2 p_1 \ \rightarrow \ \sigma_z = \frac{ r_2^2 p_2 - r_1^2 p_1 }{ r_2^2 - r_1^2 } \tag{4} \] で定まり、一定になります。 この結果を考慮して(3)式を変形することで、\( \sigma_t, \sigma_r \)の次の関係式が得られます。 \[ \sigma_t + \sigma_r = 2 \lambda = const \tag{5} \] (2)、(5)式から\( \sigma_t \)を消去すると \[ r \frac{ d \sigma_r }{ dr } = 2 \lambda - 2 \sigma_r \] この両辺に\( r \)を掛ければ \[ r^2 \frac{ d \sigma_r }{ dr } + 2 r \sigma_r = 2 \lambda r \ \rightarrow \ \frac{ d }{ dr } ( r^2 \sigma_r ) = 2 \lambda r \tag{6} \] が得られます。(6)式を積分定数\( C \)を用いて積分することで \[ r^2 \sigma_r = \lambda r^2 + C \tag{7} \] が得られます。 ここで\( \lambda , C \)を求めるために内圧と外圧の境界条件を用います。 \( r = r_1 \)のとき、\( \sigma_r = -p_1, r = r_2 \)のとき\( \sigma_r = - p_2 \)であるから \[ \begin{cases} r_1^2 p_1 = \lambda r_1^2 + C \\ \\ r_2^2 p_2 = \lambda r_2^2 + C \end{cases} \qquad \rightarrow \qquad \begin{cases} \lambda = \displaystyle \frac{ p_1 r_1^2 - p_2 r_2^2 }{ r_2^2 - r_1^2 } \\ C = \displaystyle \frac{ ( p_1 - p_2 ) r_1^2 r_2^2 }{ r_2^2 - r_1^2 } \end{cases} \] が得られます。 この\( \lambda, C \)を(7)式に代入することで\( \sigma_r \)が、さらにこの\( \sigma_r \)を(5)に代入すれば\( \sigma_t \)が求まります。 \[ \begin{align} & \sigma_r = - \frac{ p_1 r_1^2 ( r_2^2 - r^2 ) + p_2 r_2^2 ( r^2 - r_1^2 ) } { r^2 ( r_2^2 - r_1^2 ) } \\ & \sigma_t = \frac{ p_1 r_1^2 ( r_2^2 + r^2 ) - p_2 r_2^2 ( r^2 + r_1^2 ) } { r^2 ( r_2^2 - r_1^2 ) } \end{align} \tag{8} \] 最後に変形量\( u \)を求めます。
周方向ひずみ\( \epsilon_t \)は周長が\( 2 \pi r \)から\( 2 \pi ( r + u ) \)に変化することから、径方向歪み\( \epsilon_r \)は \[ \epsilon_t = \frac{ 2 \pi ( r + u ) - 2 \pi r }{ 2 \pi r } \ = \frac{ u }{ r } \tag{9} \] 径方向歪み\( \epsilon_r \)について、\( r \)での変位\( u ( r ) \)に対して\( r + dr \)での変位\( u ( r + dr ) \)は \[ u ( r + dr ) - u( r ) \simeq \frac{ du }{ dr } dr \tag{9} \] で表せるので \[ \epsilon_r = \frac{ ( u + \displaystyle \frac{ du }{ dr } dr ) - u }{ dr } = \frac{ du }{ dr } \tag{10} \] ひずみと応力の関係式は \[ \epsilon_r = \frac { 1 }{ E } \{ \sigma_t - \nu ( \sigma_r + \sigma_z ) \} \tag{11} \] であるから、応力の式(4)式と(9)式を上式に代入して頑張って計算すると、 \[ u = \frac{ ( 1 + \nu )( p_1 - p_2 ) }{ E } \frac{ r_1^2 r_2^2 }{ ( r_2^2 - r_1^2 ) r } + \frac{ ( 1 - \nu ) }{ E } \frac{ ( p_1 r_1^2 - p_2 r_2^2 ) }{ ( r_2^2 - r_1^2 ) } r - \frac{ \nu \sigma_z }{ E } r \tag{12} \] が得られます。 なお、軸方向応力\( \sigma_z \)は境界条件に応じて0または(8)式で定まります。

      

参考文献

材料力学は、連続体力学がベースとなっていて、それをより実用的に使いやすいようにまとめなおしたもの、と言えます。 材料力学計算は、ハードウェアを設計する上で必ず行うものであり、避けて通ることはできません。