本章ではベクトルの数学的に厳密な定義には触れず、 実用上問題ない範囲でのベクトルの定義について見ていきます。

1.1.ベクトルの定義

ベクトルは次のように定義されます。
順序をつけたn個の数の組 (a1、a2、・・・、an)をn次元ベクトル、
akをその第k成分と呼ぶ。このn次元ベクトルは次のように表す。

ベクトルの定義

本サイトではベクトルを太文字aで表すものとします。
この定義を見ると、ベクトルとは 単なる数の組、ということになります。 つまり、高校生のときに習った「大きさと向きを持つ量」という内容はどこにも含まれません。 実はベクトルとは “そんなもん”です。 このベクトルの定義に対して、幾何学的な意味を添えると初めて 「大きさと向きを持つ量」という意味がベクトルに与えられます。 それについては次項で見ていきます。
さて、ベクトルは行でも列でもどちらでも表すことができ、 それぞれを行ベクトル、列ベクトルと呼びます。
行ベクトル、列ベクトル

ベクトルは行列の仲間であり、行ベクトルは1×n行列、列ベクトルはn×1行列となります。

1.2.ベクトルの幾何学的解釈

まずは、簡単のため2次元ベクトルについて考えます。
2次元直交座標系O-xy上の2点A、Bの位置を(a1、a2)、 (b1、b2)と置くと、これらは(1.1-1)式より、 (x座標、y座標)を組とする2次元ベクトルになります。
2次元ベクトル
図1.2.1-1 2次元ベクトル

上述のベクトル表記は、基準点(今回はO)を最初に書いて末端点 (今回はA、B)を後に書き、ベクトルを表すために文字の頭に“→” をつけるように定義されます。 今ここで挙げたOAベクトルなどのように、 原点Oから見た位置を表すベクトルを、 位置ベクトルと呼びます。 また、位置ベクトルのように始点が固定されているベクトルを、 束縛ベクトルと呼びます。
今度は原点Oを基準とはせず、始点をA、端点をBとするABベクトルについて見てみます。 (点AB間のx方向の距離、点AB間のy方向の距離)という組が、ベクトルであることをあてはめると、 先ほどの位置ベクトルの考え方を踏襲して、
2次元ベクトル

と表せます。 1.4項で後述しますが、 これは結局のところ以下のようなベクトルに分解できます。
ベクトルの分解

これまで見てきた2次元ベクトルは、常に一つの平面内に存在することから、 平面ベクトルといいます。 それに対し、1次元追加した3次元ベクトルは、 常に一つの空間内に存在することから、空間ベクトルといいます。
空間ベクトル
図1.2.1-2 3次元空間ベクトル

1.2.2.ベクトルの大きさと向き

次に、ABベクトルの長さについて考えます。
ABベクトルの長さ

上図1.2.2-1からもわかるように、ABベクトルの長さは簡単に求められます。
ベクトルの大きさ

ベクトルの大きさを表す場合、ベクトルの絶対値として表現します。 また、座標系の2成分が決まっていることから、ABベクトルの方向も次のように決めることが出来ます。
ベクトルの向き

よって、ベクトルとは幾何学的に見れば 「大きさと向きを持つ量」であることがわかります。
さて、二次元ベクトルの長さ=大きさを(1.2.2-1)式で求めましたが、 この考え方は次元数を大きくしても同じように適用されます。 つまり、n次元ベクトルの大きさは次のように表すことが出来ます。
ノルム

このベクトルの大きさはノルムとも呼びます。

1.2.3.ベクトルと有向線分

ここで一つ注意点があります。 結論から言うと、ベクトルと有向線分は違うということです。 以下に、その違いについて見ていきます。
まずは有向線分の定義について見てみます。 “線分”とは長さが有限の直線のことです。 その頭に“有向”とつくことから、有向線分は 向きを持つ線分ということになります。 これだけを見るとベクトルと同じように思えます。 そこで、下図のように、点A、Bが同じ方向に同じ量だけ移動(平行移動)した場合を考えます。
平行移動した有向線分

有向線分ABとA'B'は当然同じ大きさ、同じ向きになります。ただし、線分が存在する位置がちがうため、 “有向線分AB≠有向線分A'B'”になります。
それに対し、ベクトルでは“ベクトルAB=ベクトルA'B'”として扱います。 それは、ベクトルABとベクトルA'B'を成分表示するとまったく同じになるからです。 つまり、ベクトルと有向線分は同じではないことになります。 ベクトルは、大きさと向きが同じ有向線分(位置が違っても良い)を、すべて同じものとして扱います。

*)単なる数の組を数ベクトル、有向線分によって表すベクトルを 幾何ベクトルと区別することがあります。

1.3.ベクトルとスカラー

ベクトルとは前述のとおり、大きさと方向を表す量になります。 そしてベクトルの表現は、(1.1-1)式のように次元数分の成分を持った数の組で表されます。
ベクトル

それに対し、大きさだけで表す量をスカラーと呼びます。 大きさしか表しませんからスカラーの次元は1次元になります。 (1.1-1)式を1次元表記すると、一次元ベクトルとして次のように表せます。
一次元ベクトル

こう書くと何か深い意味があるように見えますが、何のことはなく 「スカラーとはただ単なる数」です。 ベクトルとスカラーの決定的な違いは、座標系によってその値が変化するかどうか?です (手っ取り早く見るには行列式を掛けてみるのが良いでしょう)。 ベクトルは座標系によってとる値は変化しますが、スカラーは変化しません。
ここで、ベクトルとスカラーの具体的な物理量の例について見てみます。 ベクトルとは大きさと方向を持つ量ですから、次のようなものが挙げられます。
速度、加速度、力、運動量、電場、磁場・・・
それに対し、スカラーは大きさのみを持つ量ですから、次のようなものが挙げられます。
質量、温度、摩擦係数、エネルギー、電荷量、抵抗、光速・・・

1.4.ベクトルの演算法則

ベクトルは、以下に示す演算法則が定義されています。
ベクトルの演算法則

ここで、重要なベクトルを定義しておきます。

(a)零ベクトル

すべての成分が0であるベクトルを 零ベクトルと呼び、oで表します。
ゼロベクトル

(b)単位ベクトル

大きさが1のベクトルを単位ベクトルと呼び、 一般的にeを用いて表します。

前述の演算法則(1)~(3)に従い、次の定理が成り立ちます。 二つのベクトルab、 スカラーα、βとします。
ベクトルの加法・スカラー倍定理

これらを幾何学的に見ると、次のような図になります。
ベクトルの加法・スカラー倍定理

(定理2(ii)、(iii)は省略) また、成分がすべて実数のみのベクトルを実ベクトル、 複素数を含むベクトルを複素ベクトルとよび、 上記定理はどちらでも成り立ちます。

参考文献

ベクトル解析は、ベクトルに関する微積分の性質をみる学問です。 物理学のあらゆる場面で用いられ、空間内の物理的特性を表現するのに多用されます。