数の概念
4．特殊な数
4．1．ゼロ（零）“0”
“0”とは「何もない」ことを表します。 この「何もない」という意味から、次の用途に用いられています。＜量や大きさがないことを表す“0”＞
何にもないことを表す0になります。
＜数字の桁を表すための“0”＞
105や0.0301などで用いる0のことで、ある桁に数字がない＝空位を表します。
＜座標原点／基準としての“0”＞
正負の判別基準となる0のことで、0を境に大きい数字を正“＋”、小さい数字を負“－”と呼びます。
0は四則演算に対しても強い特徴を示します。
（1）4．1．1．“0”の足し算・掛け算
0＝0＋0＝0＋0＋0＝0＋0＋・・・
上式が成り立つ数は“0”だけです。
ここで0の性質について見ていきます。 任意の数aについて、0は次の関係を有します。
- a＋0＝a
- a－0＝a
- a×0＝0
まずは（1）、（2）について、“a＋0≠a－0”を仮定すると、
a＋0＞a－0またはa＋0＜a－0
のどちらかが成り立ちます。a＋0＞a－0のとき、右辺を左辺に移項すると0＋0＞0になり、0＞0が成立しなければなりません。
同様にa＋0＜a－0のとき、右辺を左辺に移項すると0＋0＜0になり、0＜0が成立しなければなりません。
0＝0ですから上記2つはどちらも矛盾します。 よって、a＋0＝a－0となります。
そこで右辺の0を左辺に移項すると、a＋0＋0＝aとなり、0＋0＝0であることからa＋0＝aとなりますし、 この式の左辺の0を右辺に移項すればa＝a－0となります。
次に（3）について、a×0は
a×0＝a×（0＋0）
⇔ a×0＝a×0＋a×0
と書き換えられます。 ここでa×0＝bとおくと、上式はb＝b＋bになります。 ところで、この関係式が成立するのは“0”だけですのでb＝0となります。 よって、a×0＝0になります。
（2）“0”の割り算
b÷0＝cと仮定します。 するとこの式は次のように書き換えることが出来ます。b÷0＝c ⇔ b＝c×0
もしb＝3だとしたら3＝c×0 となり、前項の“a×0＝0”に矛盾します。 つまり、この計算ではcを満たす数は存在しない、ということになります。 これはb≠0のどんな数に対しても起こります。
次にb＝0、つまり0÷0＝cのときを見てみます。 このとき0＝c×0となりますので、cは任意の値を解とすることが出来ます。 ただこれも結局のところ、解を一意に決めることが出来ない＝不定であることを表しています。
まとめると、
\[
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
b \div 0 = 解なし( b \neq 0 )
\\
0 \div 0 = 不定
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
\]
となり、b≠0にせよb＝0にせよ、分母に0を持ってくることに意味はないことを表しています。
4．2．無限大“∞”
無限大は数ではありません。 無限大の定義は次のようなものです。「限りなく大きくなるという事実を表す記号」
この意味から言えば、無限大は数ではなく現象を表している、と捉えることが出来ます。 この意味を明確にするため、次の式を考えます。
\[ \displaystyle \lim_{n \to \infty } n = \infty \] この式は、左辺の値が無限大“∞”という値に収束することを表しているのではなく、 左辺の値が限りなく大きくなる＝発散する、ということを表しています。
ここで、無限大の四則演算について見てみます。
（1）a÷∞＝0
これは無限小を表していて、限りなく0に近づく＝0に収束することを表しています。
（2）∞＋a＝∞
これは、∞という数とある数aとの和を表しているのではありません。それは∞が数ではないからです。
この式の意味は、∞に発散する数列とaに収束する数列の和がいくらか？ということです。
収束の条件は数列の有界性ですが、発散する項が含まれているため、∞＋aは∞に発散することになります。
（3）∞－∞＝不定
±∞に発散する数列は山のようにあります。
例えば次のような数列を考えます。
\[ 1,2,3,\cdots,n,\cdots \ \leftrightarrow \ a_n = n \] この数列anは∞に発散します。 この各項に1/nを追加した数列を次のようにとります。
\[ 1+\frac{1}{1},2+\frac{1}{2},3+\frac{1}{3},\cdots,n+\frac{1}{n},\cdots \ \leftrightarrow \ b_n = n+\frac{1}{n} \] この数列bnも∞に発散します。 これらの数列の差bn－anをとると、
\[ \frac{1}{1},\frac{1}{2},\frac{1}{3},\cdots,\frac{1}{n},\cdots, \] となり、この数列は0に収束します。
また、新たな数列として次のようにものを考えます。
\[ 2,4,6,\cdots,2n,\cdots \ \leftrightarrow \ c_n = 2n \] この数列cnも∞に発散します。 ここで、cn－anを計算すると、
\[ 1,2,3,\cdots,n,\cdots \ \leftrightarrow \ a_n = n \] となり、この数列は∞に発散します。 逆にan－cnを計算すると－∞に発散します。
つまり、∞－∞は一意には決まらないことがわかります。
\[ 1,2,3,\cdots,n,\cdots \ \leftrightarrow \ a_n = n \] この数列anは∞に発散します。 この各項に1/nを追加した数列を次のようにとります。
\[ 1+\frac{1}{1},2+\frac{1}{2},3+\frac{1}{3},\cdots,n+\frac{1}{n},\cdots \ \leftrightarrow \ b_n = n+\frac{1}{n} \] この数列bnも∞に発散します。 これらの数列の差bn－anをとると、
\[ \frac{1}{1},\frac{1}{2},\frac{1}{3},\cdots,\frac{1}{n},\cdots, \] となり、この数列は0に収束します。
また、新たな数列として次のようにものを考えます。
\[ 2,4,6,\cdots,2n,\cdots \ \leftrightarrow \ c_n = 2n \] この数列cnも∞に発散します。 ここで、cn－anを計算すると、
\[ 1,2,3,\cdots,n,\cdots \ \leftrightarrow \ a_n = n \] となり、この数列は∞に発散します。 逆にan－cnを計算すると－∞に発散します。
つまり、∞－∞は一意には決まらないことがわかります。
（4）∞×0＝不定
（2）同様、数列の具体的な例を持って話を進めます。
ここで次のような3つの数列を考えます。
\[ 1,2,3,\cdots,n,\cdots \ \leftrightarrow \ a_n = n \] \[ \frac{1}{1},\frac{1}{2},\frac{1}{3},\cdots,\frac{1}{n},\cdots \ \leftrightarrow \ b_n =\frac{1}{n} \] \[ \frac{1}{1^2},\frac{1}{2^2},\frac{1}{3^2},\cdots,\frac{1}{n^2},\cdots \ \leftrightarrow \ c_n =\frac{1}{n^2} \] まずはan×bnを計算すると、
\[ 1,1,1,\cdots,1,\cdots \ \leftrightarrow \] という数列が出来ます。これは1に収束しますので、∞×0＝1となります。
次にan×cnを計算すると、
\[ \frac{1}{1},\frac{1}{2},\frac{1}{3},\cdots,\frac{1}{n},\cdots \] という数列が出来ます。これは0に収束しますので、∞×0＝0となります。
このように、数列の種類によって∞×0は一意に決まらないことがわかります。
\[ 1,2,3,\cdots,n,\cdots \ \leftrightarrow \ a_n = n \] \[ \frac{1}{1},\frac{1}{2},\frac{1}{3},\cdots,\frac{1}{n},\cdots \ \leftrightarrow \ b_n =\frac{1}{n} \] \[ \frac{1}{1^2},\frac{1}{2^2},\frac{1}{3^2},\cdots,\frac{1}{n^2},\cdots \ \leftrightarrow \ c_n =\frac{1}{n^2} \] まずはan×bnを計算すると、
\[ 1,1,1,\cdots,1,\cdots \ \leftrightarrow \] という数列が出来ます。これは1に収束しますので、∞×0＝1となります。
次にan×cnを計算すると、
\[ \frac{1}{1},\frac{1}{2},\frac{1}{3},\cdots,\frac{1}{n},\cdots \] という数列が出来ます。これは0に収束しますので、∞×0＝0となります。
このように、数列の種類によって∞×0は一意に決まらないことがわかります。
4．3．円周率“\( \pi \)”
円周率とは、「円の周長÷直径」で求められる定数です。 円の面積を求める時にも必要となる、重要な値です。 この\( \pi \)は、小学生のときに3.14（ゆとり教育世代は3）として習いました。 ただし、実際は小数点2桁で終わりではなく、\( \pi \)＝3.141592・・・という風に 無限に続く無理数になります。 コンピュータ開発の世界では、この\( \pi \)の計算桁数を争うことでその性能を競いあっていました （今では1兆桁以上算出されているそうです）。さて、この円周率\( \pi \)はどのようにして求められているのでしょうか？（理論的に、ですよ）
直径1の円を3つ準備します。 一つは、その円に内接する正六角形を書きます（下図左端）。 もう一つには、その円に外接する正六角形を書きます（下図右端）。
それぞれの正六角形の周長を計算すると、つぎのようになります。
図4.3－1 円周率\( \pi \)の求め方
つまり、円周率πは3と3.46の間にあることがわかります。 次に、この正六角形を正十二角形に変えて計算すると、 円周率は3.105・・・＜\( \pi \)＜3.215・・・となることがわかります。 このように直径1の円に内接する多角形と外接する多角形の周長を求めて、 それらの間に\( \pi \)が存在する、として計算していくことで、\( \pi \)の値を近似的に求めることができます （これをアルキメデスの方法と呼びます）。 この多角形の頂点数を無限に増やすことができれば、\( \pi \)の値を正確に求めることができる、と考えられますが、 現実的には不可能です。
4．4．自然対数“e”
自然対数eは指数関数（XY）や対数関数（logX）を習う時に出てきます。 e＝2.718281828459・・・という風に、π同様無限に続く無理数です。さて、自然対数eが2と3の間にあることが意味するところは次のような理由からです。 二つの関数y＝2x、y＝3xをそれぞれグラフに描きます。
図4.4－1 自然対数eの位置づけ
上図のとおり、x＝0でy＝2x、y＝3xの接線を引くと、それぞれ傾きが0.7と1.1程度になります。 傾き1の直線はその間にあることがわかります。 そこで、y＝exとした時に、x＝0の接線の傾きが1となるような数字があるはず、として自然対数eが求められました。 この自然対数eには重要な特殊性を持っています。 特に接線の傾きが1となることから、微分積分の領域において威力を発揮します。
参考文献
関連ページ
