1.数の概念

“数”の起源は、「数える」という行為から生まれたものと考えられています。

この「数える」という行為には、次のようなものがあります。


  1. 獲物を何匹とったか?=“個数”を表す
  2. 誰が一番狩りがうまいか?=“順番”を表す

“数”がなければ、獲物をどれだけとってきた、とか誰が一番狩りがうまいか、 ということを表現するのは難しいでしょう。この“数”というものを使うことによって、 いろいろなことがはっきりするようになりました。

また、“数”という道具を手に入れたことで、重さや長さなどの表現方法をつくって、 個数でしか表せなかった量を、別の形で、しかもかなり細かく表現できるようになりました。

こうして、“数”の概念が発展すると共に、人間の表現方法も豊かになっていった、と考えられます。

そういう意味で考えれば、“数”とはコミュニケーションの道具=言葉と同じと考えられます


さて、数はいろいろな種類に分類されています。また、分類された数の表現方法もいろいろあります。 それでは、なぜ数を種類分けする必要があるのでしょうか?

それは実用上、数の性質にあわせて分類した方が人間にとって扱いやすい、ということに他ならないと思います。 人間の都合ということから考えれば、人間が主に10進法を用いるのも納得できるような気がします (指は全部で10本ですから)。


そういった意味からも“数”は、人間が様々な事象、現象を知るために開発した“コミュニケーション・ツール”と言えるでしょう。


2.数の表現

数は無数にあり、それらはさまざまな形で表現されます。


整数、小数、分数、平方根(三乗根・・・)、虚数

本項では、数の表現方法について説明します。

前提として1、2、3…等のきりの良い数が“整数”である、ということで話を進めていきます。


2.1.整数

1、2、3・・・等のきりの良い数を“整数”といいます。

後述(3章)しますが、この整数の中で、 1より大きい整数を自然数と呼び、0や負の数も含めたものを整数といいます。


2 .2.小数

小数とは、0と1、1と2、2と3…という、となりあう整数の間にある一の位より小さい数を表します。

具体的に言うと次のようになります。

まず、0と1の間を10等分します。


小数を表す数直線
図2.2-1 小数を表す数直線

このとき、0と1のちょうど中間の数字をどのように表すか?について考えます。

0と1を10等分したちょうど真ん中は上図の⑤個めの目盛りになります。 ただ、この目盛りを整数だけで表すことは出来ません。

そこで、“①番目の目盛りの値”=“1を10で割った値”=“0.1”と呼ぶことにしました。


“0.1”について詳しく見ていきます。

最初の“0”は、0に1を足しても1ですので位を表すためにただ単に用いられている数字、と考えてください。

“0”の後ろにある点“.”は、整数では表せない1より小さい数値を表す区切りを表すもの、と考えてください。 この点を小数点と呼びます。

“.”の後ろにある数字は、0と1を10個に区切ったとき、何番目に相当するか?を表すものです。


そうすると、0と1のちょうど中間の数字は⑤番目の目盛りになりますので“0.5”と表すのが妥当だと考えられます。


小数を表す数直線
図2.2-2 小数を表す数直線

同じように考えて、0と0.1の間にある数字は0.0Xで、0と0.01の間にある数字は0.00Xで表します。


最後に、小数は次の3つに区分けされます

有限小数:
0.5や0.8215など小数点以下の数字に限りの有る小数です。
無限小数:
3.141592…(円周率)などのように、小数点以下の数字が限りなく続く小数です。
循環小数:
無限小数のうち、0.1333…=0.13(1/3)や0.34545…=0.345(19/55) のように限りなく同じ数字が繰り返される小数です。

2 .3.分数

分数は、ある数字を別の数字で割ることを表現した数です。つまり割り算を数字として表現しているだけです。

例えば、リンゴを半分に切ったときの量1÷2=1/2(=0.5)、サイコロで1が出る確率1÷6=1/6(=0.1666・・・)、 8個のまんじゅうを4人に配ったときに各人がもらえる個数8÷4=8/4(=2)などがあります。

分数は、整数を表すこともあれば、小数を表すこともあります。 ただし、小数を表す分数は、必ず有限小数か循環小数になります。


2 .4.平方根

同じ数を2個掛け合わせることを二乗といいます。つまり2×2=22=4です。

平方とはこの二乗を意味します。その根(もと)となる数(前例で言えば“2”)を平方根と呼びます。

例えば、平方根をXとおき、以下の式が成り立っているときのXの値を次のように表現します。


平方根

ちなみに、平方根は二乗のときの呼び方ですが、三乗根、四乗根・・・などを含めた総称を、“べき乗根”と呼びます。


2.5.虚数

虚数とは、-1の平方根として定義されています。


虚数

また、αi(αは実数)と表せる数を純虚数と呼びます。

なぜ“虚”数と呼ぶのでしょう?

“虚”を辞書で調べると“実”の反対語と記されています。 また、英語での虚数はimaginaryと言います(この頭文字は“i”)。 この単語の意味は、「創造上の、架空の、空想の」などといった意味です。 これは以下の図をみると直感的に理解できると思います。


二次曲線の解
図1.1.4-1 二次曲線の解

xy平面上に二つの曲線があります。一つはx軸と交わる曲線(y=x2-1)、 もう一つはx軸と交わらない曲線(y=x2+1)とします。

両曲線について、y=0となる場合xの値はどのようになるかを考えます。

x軸と交わる曲線(y=x2-1)はy=0のとき、上図の通りx=±1で交わるので、それが答えになります。

ではx軸と交わらない曲線(y=x2+1)のときはどうでしょう?x軸と交わりませんので、上図から判断する場合、 答えは“なし”となってしまいます。しかしながら、数式上は、次のように表現することが可能です。


iの定義

つまり、人間が実感できる(と書けばよいでしょうか?)世界において、この数は答えにはなりませんが、 数学またはそれを基にした学問においては数として扱いましょう、 iは架空の数字としてとらえましょう、ということから虚数(imaginary)という名称がついたと考えられます。

ではなぜ虚数が必要になるのでしょう?

実はこの虚数という考え方がなければ、量子力学の世界は説明できなくなってしまいます。 その他にも、実用レベルで虚数を用いることにより現象を簡単に把握できるようになるものが 数多く存在します(特に振動現象に多く見られます)。

また、面白い例えとして「ガモフの問題(=宝探しゲーム)」というものがあります。 この詳細については、以下の書物をご覧いただければと思います。



そのほか、別の虚数として四元数(クォータニオン)があります。 この虚数はロボットアームや人工衛星の姿勢制御、素粒子物理等で出てきますが、 少し特殊ですのでここでは説明を割愛します。

3.数の種類

数は以下の6種類に大別されます。


自然数、整数、有理数、無理数、実数、複素数

3 .1.自然数(Natural Numbe 集合:N)

下図のように、1、2、3・・・といった個数を表したり、順位を表す数字のことを言います。 数の起源と考えられています。

自然数の最小単位は“1”です。


自然数を表す数直線
図3.1-1 自然数を表す数直線

3.2.整数(Integral Number 集合:Z)

自然数は1より大きな数字でしたが、整数は、0やマイナス(-)も含みます。

整数の最小単位は、自然数同様“1”になります。


整数を表す数直線
図3.2-1 整数を表す数直線

3.3.有理数(Rational Number 集合:Q)

有理数とは、以下のように定義されています。


有理数の定義

つまり、分子と分母をともに整数とできる数、ということです。

ちなみに、自然数、整数とも有理数に含まれます(m=1のときの数)。

3.4.無理数(Irrational Number)

無理数は、有理数ではない数(実際は実数)、として定義されています。

例えば、自然対数e=2.718281…、円周率π=3.141526…、√2=1.41421356…などがあります。

無理数であることを示すためには、“有理数ではない”という証明が必要になります。


例として、ここでは√2が無理数であることを証明します。

今、a、b、cの3つの整数が以下の関係を持つものとします。


無理数

つまり“cは有理数である”と仮定しています。

すると、c2=2となりますので、上式を両辺二乗すると2b2=a2となります。

この場合、aは偶数になりますので、a=2sとおきます。 すると、2b2=4d2 ⇔ b2=d2 となり、bも偶数になります。 この結果、a、bとも偶数になり、これは前提のa、b間に公約数がない、とする条件に矛盾します。 よって、√2は無理数である、と言えます。

3.5.実数(Real Number 集合:R)

実数とは、下図の矢印線上にあるすべての数を総括したものです。 つまり(1)自然数~(6)無理数のすべてを含みます。


実数を表す数直線
図3.5-1 実数を表す数直線

3.6 .複素数(Complex Number 集合:C)

複素数は虚数を含む数で、以下のように定義されています。

c=a+bi (a、bは実数)

この表現からわかるように、複素数は実数を包括しています(b=0)。

上記の実数部分(実部)a、虚数部分(虚部)bを以下のように表します。

Re c=a、Im c=b

実数が数直線上で表せるのに対して、複素数は横軸を実部、縦軸を虚部とする平面で表せます。


複素数を表す平面
図3.6-1 複素数を表す平面

複素数を表す平面を、複素平面またはガウス平面と呼びます。

複素数の必要性については2.5項虚数を参照ください。


最後に自然数~複素数の数の関係は以下のようになります。


数の種類に対する集合図
図3.6-2 数の種類に対する集合図

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