3.仮想仕事の原理

3.1.仮想仕事の原理

質点が、作用している合力Faによってつり合い状態=平衡状態にあるとき、 次式が成り立ちます。
合力

この平衡状態から、質点に任意の微小変位δrを与えても、 平衡点にある質点に作用する力Faによってなされる仕事は “0”のままです(接線の傾き=0)。
合力

このように、 平衡状態の質点に微小変位δrを与えても 質点に働く仕事Wが“0”のままであることを仮想仕事の原理、 微小変位δr仮想変位、仕事Wを仮想仕事といいます。

3.2.平衡条件

本節では、質点が平衡状態にあるときの座標を特定する方法について見ていきます。

3.2.1.曲面上の平衡条件

今、下式で表す既知の滑らかな曲面上に質点が束縛されているとします。
拘束条件

このとき曲面との間に摩擦はないものとします。
平衡状態にある質点に作用する合力Faは、 曲面からの垂直抗力Rとそれ以外の力Fの合成となります。
拘束条件

このとき、平衡状態にある質点を曲面に束縛した状態で、仮想変位δrを与えます。
図3.2.1-1 平衡状態から仮想変位する質点
図3.2.1-1 平衡状態から仮想変位する質点

すると仮想仕事の原理(3.2.1-2)式より、
拘束条件

ところで、垂直抗力は曲面と垂直な関係にあるため仕事をしません。よって、
拘束条件

また、仮想変位を与えても質点は曲面に束縛されているため、(3.2.1-1)式を満足します。
拘束条件

ここで関数fの変分δfを計算します。
拘束条件

このとき、質点は曲面に束縛されているので、 その仮想変位δr=(δx,δy,δz)のうち任意の2つは独立変数として扱え、 残り1つは(3.2.1-6)式によって決定されます。 独立変数選択の任意性から、ここではδxとδyを独立変数として扱います。 すると、δx、δyが独立変数であることから、(3.2.1-4)式と(3.2.1-6)式のδzを消去することで、 δxとδyに関する恒等式を作ることが出来ます。 このときラグランジュの未定乗数法を用いると便利です。
今δzを消去するための関数λを設定し、(3.2.1-4)+(3.2.1-6)×λを計算します。
拘束条件

λはδzの項を消去するために設定された関数のため、
拘束条件

が成立することになります。 すると、(3.2.1-7)式は次のように簡単になります。
拘束条件

この式はδx、δyに関する恒等式になるため、次の関係式が成立します。
拘束条件

以上をまとめ、次の4つの連立方程式を解くことで、つり合い位置(x,y,z)とλが求まります。
拘束条件

また、(3.2.1-2)式を思い浮かべると、 (3.2.1-11)式の左辺第二項は垂直抗力の各成分になっていることがわかります。 そこからλを求めることが出来ます。
拘束条件

このように、
  • 束縛力を考慮しないで(3.2.1-11)式から自動的に平衡条件を求められること
  • (3.2.1-11)式から即座に束縛力Rが算出できること

が仮想仕事の原理を用いる利点になります。
また、今回は外力既知として平衡点の位置を求めましたが、平衡点を既知として外力を求めることも出来ます。

3.2.2.曲線上の平衡条件

今度は質点が、下式で表す曲線に束縛されているとします。
拘束条件

3.2.1項同様、 曲線からの束縛条件を破らないで仮想変位δr=(δx,δy,δz)を与えれば (3.2.1-6)式と同形の結果が得られます。
拘束条件

上式は、3変数(x,y,z)に対し束縛条件が2つあるので、独立変数は任意の1つになります。 そこで、δy、δzを消去してδxの係数に関する恒等式を作ることになります。 ここでもラグランジュの未定乗数法を用います。 任意関数λ、μを設定し、(3.2.1-4)式と(3.2.2-2)式を変形します。
拘束条件

λ、μはδy、δzを消去するために導入されたもののため、
拘束条件

を満たします。 これによりδxの恒等式ができるため、
拘束条件

以上をまとめ、次の5つの連立方程式を解くことで3つの未知変数とλ、μが求まります。
拘束条件

3.2.3.質点系への拡張

前項では1つの質点に対する仮想仕事の原理の適用を見てきました。 これを拡張し、複数の質点からなる質点系に仮想仕事の原理を適用してみます。
n個の質点で構成される系の座標は、3n個の独立変数 (x1,x2,x3,…,x3n)で表せます。 この系が平衡状態にあるとき、仮想仕事の原理を適用すれば、次のようになります。
拘束条件

次に、束縛条件の個数について考えます。 この系にもし3n個以上の束縛条件があるとしたら、 どんな力を与えても系は束縛条件上のあらゆる点で平衡状態を保ったまま、 つまり“解なし”になります。 よってこの場合、束縛条件の個数は“1≦k<3n”でなければなりません。
そこで、束縛条件を次の関数で定義します。
拘束条件

仮想変位は、これらの束縛条件をすべて満足するので、(3.2.1-6)式同様にすれば、
拘束条件

ここでもラグランジュの未定乗数法を適用すると、
拘束条件

となり、「独立でないδxiを消去する」意味を持ったλiと、 残りの恒等的関係から、次の連立方程式が得られることなになります。
拘束条件

(3.2.3-2)式と(3.2.3-5)式を解くことによって解が求められることになります。

3.3.ダランベールの原理

ダランベールの原理とは、慣性力の考え方を仮想仕事の原理に適用したものです。 つまり、「加速度運動している質点がある時刻tその瞬間、慣性力を含めたつり合い条件にある」と考え、仮想仕事の原理を適用するものです。 この方法により、質点の運動方程式を簡単に導出できるようになります。
ここでは、曲面上に束縛された質点の運動方程式の記述について見ていきます。 ある時刻tでの質点を束縛する曲面を次式とします。
拘束条件

次に、垂直抗力R以外の質点に働く合力Fと慣性力-maの合計に 仮想仕事の原理(3.2.1-4)式を適用すると、以下のようになります。
拘束条件

曲面の条件として(3.2.1-6)式を持ち出し、ラグランジュの未定乗数法を適用すれば、 (3.2.1-7)式を書き換えた次の関係式が成り立ちます。
拘束条件

λはδzを消去する関数、δx、δyは任意変数ゆえの恒等式から、(3.2.1-11)式と同形の以下の3式が得られます。
拘束条件

この式はまさに、ニュートン力学でいう運動方程式にあたります。
ところで、上式は“ある時刻tその瞬間”つまり時間を固定して導き出した数式です。 すると、次の瞬間t+⊿tでこの式は成り立つか?が疑問となります。 ある時刻tを固定したときの曲面関数として(3.3-1)式を設定していますが、それを
拘束条件

として表わせば、時刻t+⊿tでの曲面関数は
拘束条件

となります。そこで、時刻t+⊿tを固定して上記内容を適用すれば結局(3.3-4)式が導出されます。
仮想仕事の原理は、機構解析を行う上でなくてはならない概念です。 様々な機構解析ソフトでこの概念が導入されていますので、ぜひ押さえておきたいところです。 簡単な解説書として次の参考書を紹介しておきます。 わかりやすい説明と例題もあって、手ごろな参考書と言えると思います。


参考文献

解析力学は、力学をより一般化した表現でまとめなおしたものです。 力学の運動方程式は、解析力学ではラグランジュ方程式として書き直されます。 これは力学計算においても有用で、例えば運動方程式では、力や運動の方向を考えながら非常に複雑な式を複数本立てなくてはならない場合でも、ラグランジュ方程式を用いることで非常に簡素に、オートマティックに関係式を得ることができます。ただし、それが簡単に解けるかは別問題になりますが...。