2.連続体の変形
2.1.変位ベクトル
物体内の任意の点Pの移動に着目します。ただし、Pは拘束点ではないものとします。
点Pの位置ベクトルを\( \boldsymbol{r} \)、移動後の点P'の位置ベクトルを\( \boldsymbol{r'} \)とするとき、Pを始点、P'を終点とするベクトル\( \boldsymbol{u} \)を
変位ベクトルと呼びます。
\[
\boldsymbol{u}=\boldsymbol{r'} - \boldsymbol{r}
\tag{2.1-1}
\]

図2.1-1 変位ベクトル
ベクトル\( \boldsymbol{u} \)は点PからP'への移動を表していますので、
位置が
変わる=
変位を意味することは明らかです。
また、変位ベクトル\( \boldsymbol{u} \)は元の位置ベクトル\( \boldsymbol{r} \)によって定まるため、\( \boldsymbol{r} \)の関数\( \boldsymbol{u} = \boldsymbol{u} (\boldsymbol{r}) \)になります
(以降の話はこれを前提にしていますので重要です)。
2.2.変形
2.2.1.変形の定義
物体の形や容積が変わることを
変形といいます。
このとき物体内の各点は、変位に伴ってその点間距離も変化します。
物体内の各点が変位しているにもかかわらず、その点間距離が変化しない場合は、剛体が並進や回転運動をしているものと考えられます
(図右側)。

図2.2.1-1 物体の変形
2.2.2.変形テンソル
物体内の近接する任意の二点P、Qに着目します。
それぞれの位置ベクトルを\( \boldsymbol{r} \)、\( \boldsymbol{r} \)+d\( \boldsymbol{r} \)とします
(近接点なのでd\( \boldsymbol{r} \)は微小ベクトル)。
物体が変形して点PはP'に、点QはQ'に変位変位したとき、それぞれの変位ベクトルは\( \boldsymbol{u}( \boldsymbol{r} )、\boldsymbol{u}( \boldsymbol{r} + d \boldsymbol{r} ) \)で表せます。

図2.2.2-1 物体の変形に伴う変位
このとき、次の関係式が成り立ちます。
\[
d \boldsymbol{r'} - d \boldsymbol{r}
= \boldsymbol{u} ( \boldsymbol{r} + d \boldsymbol{r} ) - \boldsymbol{u} ( \boldsymbol{r} )
\tag{2.2.2-1}
\]
\( d \boldsymbol{r} \)は微小ゆえテイラー展開して二次以上の微小項を無視し、次のように近似します。
\[
d \boldsymbol{r'} = d \boldsymbol{r} + \frac {\partial \boldsymbol{u} ( \boldsymbol{r} )}{\partial \boldsymbol{r}} d \boldsymbol{r}
\tag{2.2.2-2}
\]
これは、変形によって生じる近傍点の変位差を表します。
特に右辺第二項を成分表示すると次のようになります。
\[
\begin{eqnarray}
\frac {\partial \boldsymbol{u} ( \boldsymbol{r} )}{\partial \boldsymbol{r}} d \boldsymbol{r}
&=&
\left(
\begin{array}{c}
\displaystyle \frac {\partial u_x}{\partial x} dx +
\frac {\partial u_x}{\partial y} dy +
\frac {\partial u_x}{\partial z} dz \hspace{10px}
\\
\displaystyle \frac {\partial u_x}{\partial x} dx +
\frac {\partial u_x}{\partial y} dy +
\frac {\partial u_x}{\partial z} dz \hspace{10px}
\\
\displaystyle \frac {\partial u_x}{\partial x} dx +
\frac {\partial u_x}{\partial y} dy +
\frac {\partial u_x}{\partial z} dz \hspace{10px}
\end{array}
\right) \\
&=&
\left(
\begin{array}{ccc}
\displaystyle \frac {\partial u_x}{\partial x} &
\displaystyle \frac {\partial u_x}{\partial y} &
\displaystyle \frac {\partial u_x}{\partial z}
\\
\displaystyle \frac {\partial u_y}{\partial x} &
\displaystyle \frac {\partial u_y}{\partial y} &
\displaystyle \frac {\partial u_y}{\partial z}
\\
\displaystyle \frac {\partial u_z}{\partial x} &
\displaystyle \frac {\partial u_z}{\partial y} &
\displaystyle \frac {\partial u_z}{\partial z}
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
dx \\
dy \\
dz
\end{array}
\right) \\
\end{eqnarray}
\tag{2.2.2-4}
\]
d\( \boldsymbol{r} \)の係数行列の各成分は、変位ベクトル成分の各軸方向の変化量を示しています。
また、この係数行列はベクトル解析で知られているとおり、ベクトル\( \boldsymbol{u} (\boldsymbol{r}) \)の勾配\( \nabla \boldsymbol{u} \)で表せます。
テンソルの定理により、ベクトルの勾配は二階のテンソルであることから、係数行列\( ( \partial u_i/\partial x_j ) \)を変形テンソルと呼びます。