2.クランク機構

クランク機構は“回転運動を直線運動に変換する”機構です。 機構の代表的な例として、車のエンジンが挙げられます。

図1-1 クランク機構
図1-1 クランク機構

クランク機構では、回転力が発生しない箇所が存在し、その箇所を死点(DC:Dead Center)と呼びます。 特に、ピストンの最も高い位置にある死点を上死点(TDC:Top Dead Center)、低い位置の死点を下死点(BDC:Bottmo Dead Center)と呼びます。

図1-2 クランク機構の死点
図1-2 クランク機構の死点

2.1.クランク機構の計算

クランク機構ではピストンの変位、速度、加速度が重要になりますので、これらの計算方法について説明していきます。


そこでまずは、クランク機構のパラメータを下図のように設定します。

図2.1-1 クランク機構
図2-1 クランク機構計算に用いる変数

変数名 記号
・クランク半径 \( R_{cra} \)
・コネクティングロッド長 \( L_{con} \)
・シリンダオフセット
(シリンダ中心軸のずれ量)
\( ea \)
・クランク回転角
(TDCのとき0)
\( \theta \)

次に、クランク機構を計算する上での前提条件を次のようにとります。
  1. 二次元平面内の運動とする。
  2. 回転角\( \theta = 0 \)を、クランク回転中心と上死点(TDC)を結ぶ線上にとる。
  3. 幾何学的拘束条件:
    \[ ( R_{cra} + L_{con} \ ) \sin \theta_o = ea \tag{2-1} \]
  4. 位置ベクトル初期値:
    \[ \bf{r_{cra}} = \left( \begin{array}{c} R_{cra} \\ 0 \end{array} \right) , \ \bf{L_{con}} = \left( \begin{array}{c} L_{con} \\ 0 \end{array} \right) \tag{2-2} \]
  5. z軸周りの回転行列(z軸は画面手前方向):
    \[ R(\theta) = \left( \begin{array}{c c} \cos \theta & - \sin \theta & \\ \sin \theta & \cos \theta & \end{array} \right) \tag{2-3} \]
  6. 回転行列\( R(\theta) \)の時間微分(二次元平面内の運動に限る):)
    \[ \begin{eqnarray} & \frac{dR( \theta )}{dt} & = \dot{\theta} \\ \\ & \frac{d^2 R( \theta )}{dt^2} & = \ddot{\theta} R(\theta+\frac{\pi}{2}) -\dot{\theta}^2R(\theta) R(\theta+\frac{\pi}{2}) \end{eqnarray} \tag{2-4} \]
    なお、クランク回転が等速円運動のとき、\( \dot{\theta} = const \)なので、
    \[ \frac{d^2 R( \theta )}{dt^2} = -\dot{\theta}^2R(\theta) \tag{2-5} \]
以上を前提に計算を行います。


(1)ピストンの運動範囲

幾何学的条件から、ピストンストローク、TDC、BDCの角度は次のようにして求まります。

a)ピストンストローク

\[ St = \sqrt{ ea^2 + (L_{con} + R_{cra})^2} \ - \sqrt{ ea^2 + (L_{con} - R_{cra})^2} \tag{2-6} \]

b)TDC、BDCの角度

\[ \begin{eqnarray} & \theta_{TDC} & = \sin^{-1} \displaystyle \frac{ea}{L_{con} + R_{cra}} \\ \\ & \theta_{BDC} & = \sin^{-1} \displaystyle \frac{ea}{L_{con} - R_{cra}} \end{eqnarray} \tag{2-7} \]
図1-2 クランク機構の死点
図1-2 クランク機構の死点


(2)ピストン変位

ここでもう一度、図2-1に登場してもらいます。
図2.1-1 クランク機構
図2-1 クランク機構計算に用いる変数

コネクティングロッドとクランクの成す角\( \psi \)は上図からわかるように、\( \theta \)の関数になります(以降、\( \theta' = \theta + \theta_o \)とします)。
\[ L_{con} \ \sin \psi = R_{cra} \sin( \theta ' ) - ea \tag{2-8} \] \[ \Leftrightarrow \ \psi ( \theta ' ) = \sin^{-1} \frac{R_{cra} \sin ( \theta ' ) -ea}{L_{con}} \tag{2-9} \]

クランクピンの位置ベクトル\( \bf{r_1} \)はクランクの初期ベクトル\( \bf{r_{cra}} \)を回転角\(\theta\)で回すことで決まります。 また、ピストンピンの位置ベクトル\( \bf{r_2} \)は、コネクティングロッドの初期ベクトル\( \bf{L_{con}} \)をクランクピン周りに回転角\(\psi\)で回したものを、クランクピンの位置ベクトル\( \bf{r_1} \)に足し合わせるだけです。 これらの計算は回転行列(2-4)式を用いることで簡単に求めることができます。
\[ \begin{eqnarray} & \bf{r_1} & = R( \theta' ) \bf{r_{cra}} = \left( \begin{array}{c} R_{cra} \cos (\theta') & \\ R_{cra} \sin (\theta') & \end{array} \right) \\ \\ & \bf{r_2} & = \bf{r_1} + R( -\psi ) \bf{r_{con}} = \left( \begin{array}{c} R_{cra} \cos (\theta') + L_{con} \cos \psi & \\ R_{cra} \sin (\theta') - L_{con} \sin \psi & \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x_2 \\ ea \end{array} \right) \end{eqnarray} \tag{2-10} \]
なお、ピストンピンはシリンダ中心軸上を運動するため、y座標はea一定となります。

(3)ピストン速度

(2-8)式を時間微分することで、Ψの時間微分関数\( \dot{\psi} \)が定まります。
\[ \dot{\psi} = \frac{R_{cra} \cos(\theta')}{L_{con} \cos \psi} \quad \dot{\theta} \tag{2-11} \]

あとは\( \bf{r_1} \)、\( \bf{r_2} \)を時間微分することで、ピストン速度\( \bf{ \dot{ r_2} } = \bf{ v_2 } \)を求めることができます。
\[ \begin{eqnarray} & \bf{v_1} & = \bf{\dot{r_1}} = \dot{\theta} R(\theta' + \frac{ \pi }{ 2 } ) \bf{r_{cra}} \\ & \bf{v_2} & = \bf{\dot{r_2}} = \bf{v_1} - \dot{\psi} R( -\psi + \frac{ \pi }{ 2 } ) \bf{r_{con}} \end{eqnarray} \tag{2-12} \]
ピストンのy座標は一定のため、ピストン速度はx軸方向のみ発生します (つまり、y軸成分を計算する必要はありません)。

(4)ピストン加速度

(2-11)式を変形して
\[ \dot{\psi} L_{con} \cos \psi = \dot{\theta} R_{cra} \cos(\theta + \theta_o) \]
上式を時間微分すると次式を得ます。
\[ \ddot{\psi} = \frac { R_{cra} ( \ddot{ \theta } \cos ( \theta + \theta_o ) - \dot{\theta}^2 \cos(\theta + \theta_o) ) } { L_{con} \cos \psi } \qquad + \dot{ \psi }^2 \tan \psi \]
クランクが等速円運動を行うとき\( \ddot{\theta} = 0 \)なので、上式は次のようになります。
\[ \ddot{\psi} = \frac { \dot{\theta}^2 R_{cra} \cos(\theta + \theta_o) } { L_{con} \cos \psi } \quad + \dot{ \psi }^2 \tan \psi \tag{2-13} \]
あとは、(2-12)式を時間微分することで、ピストン加速度\( \bf{ \ddot{ r_2} } = \bf{ a_2 } \)を求めることができます。
\[ \begin{eqnarray} & \bf{a_1} & = \bf{ \ddot{r_1} } = \left\{ \ddot{\theta} R( \theta + \theta_o + \frac{ \pi }{ 2 } ) - \dot{\theta}^2 R ( \theta + \theta_o ) \right\} \bf{r_{cra}} \\ & \bf{a_2} & = \bf{\ddot{r_2}} = \bf{a_1} - \left\{ \ddot{\psi} R( -\psi + \frac{ \pi }{ 2 } ) - \psi^2 R( -\psi) \right\} \bf{r_{con}} \end{eqnarray} \tag{2-14} \]

2.2.クランク機構の計算例

クランク機構計算ツール(Excel版)を無料で公開していますので、そちらもご活用ください。
図3-1 入力
設定入力例

図3-2 クランク機構
出力例


      

参考文献

機構設計の難しさは、 また、実際の計算は数値計算に依らなくてはなりません。 確実に解を出す数値計算方法はなく、収束性に対して問題を抱える状況が出てきます。 そのような状況に対応するためには、数値計算による微積分・行列計算に関するある程度の知識が必要になります。