1.三角測量

1.1.三角測量の基本式

三角測量は、角度と距離の次のような関係から、測定点の位置を割り出す手法です。


図1.1-1 三角測量の基本原理
図1.1-1 三角測量の基本原理

三角測量の基本式

ここで次の公式を用いるとOPの長さは、


三角測量の基本式

よって、測定点Pの位置は次のように表せます。


三角測量の基本式

1.2.三角測量の準備

三角測量は、測角器であるセオドライト(よく土木測量で使用されている望遠鏡のようなもの)2台と、 精密に寸法管理されたスケールバーによって行われます。

セオドライトは、水平角と鉛直角の2つの角度を精密に測定する機械です。

測定は、まず座標系の設定から行います。

1.2.1.座標系の設定

(1) セオドライト2台をある適当な位置に置き、それぞれの鉛直を出します。
(2) 1台のセオドライトを測定原点とすることで、鉛直軸(Z軸)が決定します。
(3) 2台のセオドライトをお見合いさせたときに出来る線分から、 鉛直軸に直角な成分を一つの水平軸(X軸)に決定します。
(4) 自動的に3つめの軸(Y軸)が決定します。

図1.2-1 測定座標の定義
図1.2-1 測定座標の定義

これまでは、座標系を定義しただけですので、図1.1-1でいう“L”(セオドライト間距離) が明確になっていません。 そこで、基準長さLを精確に測定し、測角と距離の関係を決定します。

1.2.2.基準長さの設定

ここでは計算を簡単にするため、高さ同一面内での測定とします (実際は、そんなことはありえないので、高さずれがわかる面で同じように計算すればよいことになります)。


(1) 超精密に長さ管理されているスケールバーを、セオドライト2台から見えるよう、適当な位置に置きます。
(2) スケールバーには測定ポイントが2点ありますので、その2点を2台のセオドライトで測角します。
このとき、セオドライトAとBが同じポイントを見たときの角度を測ることになります。 そのときのそれぞれの角度が後で重要になってきます。
当然ながら、見ているポイントがずれている場合は、それがそのまま測定誤差として上乗せされます。
(3) (1.1-1)式を用いて、Lがわかっているものとしてスケールバーの長さSを決める方程式を作ります。

図1.2-2 基準長さLの決定
図1.2-2 基準長さLの決定

三角測量の基本式

ここで、パラメータa、bを


三角測量の基本式

と設定すれば、(1.2-1)式は次のように書き換えられます。


三角測量の基本式

今、セオドライトA、B間の距離Lを精確に測りたいので、 スケールバーの長さSと(1.2-2)式との関係が明らかになれば、Lを求めることが出来ます。

PQベクトルは次のように表せます。


三角測量の基本式

また、PQベクトルの長さがスケールバーの長さSになりますので、


三角測量の基本式

さらに


三角測量の基本式

とおけば、S2=(cL)2が成立し、Sは長さのためS>0から、


三角測量の基本式

以上より、2台のセオドライト間の距離Lが、測角データとスケールデータで精確に決定できることがわかりました。

前にも述べましたように、計算を簡単にするため、高さ(鉛直方向)のずれについてはここでは考慮していませんが、同様にして求めることが出来ます。


2.非接触三次元計測

非接触三次元測定の肝は、超精密に管理された一つの長さパラメータと座標系の設定にあります。 ここをいい加減に行えば、測定誤差は大きくなり、使えないデータとなってしまいます。 1章で述べた計算式を元に、どのように測定すれば測定誤差を小さく出来るかを検討すること =パラメータの感度解析が重要になります。


最後に、非接触三次元測定は、1項で述べたような三角測量の原理を、 今までの土木測量や大規模構造体のアライメント調整の範囲から、 一般的な測定物に対象を広げたものです。

非接触三次元計測によって被測定物の3次元形状データを取り込めるようになったのは、 ハードとソフトの進歩によるものが大きいと考えられます。 コンピュータの演算処理が格段に早くなったおかげで、 非常に簡単に様々な形状の3Dデータを作成できるようになりました。 また、3D-CADの普及により、取り込んだデータを手軽に見たり、加工したり出来るようになりました。

この被接触三次元計測の技術は計測だけでなく、医療(手術ロボット)などにも応用されています。

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