コラム

微分と積分(微小変化編)

作成日:20190515  テーマ1:科学  テーマ2:数学  テーマ3:

前回のコラムの続きであり、“微分”についての補足説明である。

“微小変化”について掘り下げてみよう。
微分をはじめて習うとき、微分演算子として次の形を教えられる。 \[ \frac{ d }{ dx} \tag {7} \] これだと分子と分母を分割できるようには思えない。 なのに話がどんどん進んでいくと、積分で「\( dx \)を両辺に掛けて」とか、いつのまにか(7)式は割り算なんだ、と言われてしまう。 そんなことをされたら当然混乱する。
ここで微分の意味に立ち返る。 微分はあくまで「ある点における関数の接線の傾き = 変化率」を計算している。 変化率は横軸\( dx \)増えるごとに縦軸\( df \)がどれだけ増えるか?を求めているわけだから、\( df / dx \)は微小変化量同士の割り算であることがわかる。 もういちど前回コラムの(5)式を見返してほしい。 \[ f'(x) = \frac{ df(x) }{ dx } =\displaystyle \lim_{ n \to 0 } \frac{ \Delta f }{ \Delta x } \tag{5} \] 微分が割り算であることがわかれば、次の式変形が成り立つのは容易に想像がつくはずである。
\[ df(x) = f'(x)dx \tag{8} \] この(8)式は次回コラム掲載予定の“積分”において非常に重要な役割を担うので、今回の内容を知っておいてもらいたい。

なお、本コラムではざっくりとした内容を載せているので、ちゃんとした理解を得たい場合は次のような書籍を読むとよい。